与えられた3つの行列 $A_1$, $A_2$, $A_3$ を簡約化し、それぞれの行列の階数を求める問題です。 $A_1 = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$, $A_2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$, $A_3 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \end{bmatrix}$.

1. 問題の内容

与えられた3つの行列 $A_1$, $A_2$, $A_3$ を簡約化し、それぞれの行列の階数を求める問題です。

$A_1 = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$, $A_2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$, $A_3 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \end{bmatrix}$.

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A_1$ の簡約化と階数

まず、行列 $A_1 = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ を簡約化します。

行の入れ替えを行います。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$

次に、2行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

簡約化された行列は $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ となり、零ベクトルでない行の数は2なので、階数は2です。

(2) 行列 $A_2$ の簡約化と階数

行列 $A_2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ を簡約化します。

2行目から1行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 0 & -1 & 4 \end{bmatrix}$

2行目に -1 をかけます。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 0 & 1 & -4 \end{bmatrix}$

1行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & -4 \end{bmatrix}$

簡約化された行列は $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & -4 \end{bmatrix}$ となり、零ベクトルでない行の数は2なので、階数は2です。

(3) 行列 $A_3$ の簡約化と階数

行列 $A_3 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \end{bmatrix}$ を簡約化します。

行の入れ替えを行います。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

1行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

簡約化された行列は $\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ となり、零ベクトルでない行の数は2なので、階数は2です。

3. 最終的な答え

行列 $A_1$ の簡約化は $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ であり、階数は2です。

行列 $A_2$ の簡約化は $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & -4 \end{bmatrix}$ であり、階数は2です。

行列 $A_3$ の簡約化は $\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ であり、階数は2です。