(1) $(2a+3b)^2 - 6b(2a+3b)$ を展開して整理した結果を求める。 (2) $(x^2-2x)^2 + 2(x^2-2x) - 15$ を因数分解した結果を求める。 (3) $a, b$ は実数とする。$a=0$ かつ $b=2$ であることは、$a(b-2)=0$ であるための何であるかを問う。選択肢は、①必要十分条件である、②必要条件であるが、十分条件ではない、③十分条件であるが、必要条件ではない、④必要条件でも十分条件でもない。 (4) 2次関数 $y = -2(x-1)^2$ のグラフを $x$ 軸方向に2, $y$ 軸方向に $a$ だけ平行移動したグラフが点 $(1, -2)$ を通るときの $a$ の値を求める。 (5) ある学校の生物部で、Aの小屋で馬を3頭、Bの小屋でうさぎを2羽飼育している。イベント前、Aのえさ箱の中に2本、Bのえさ箱の中に12本残っていた。イベントで、来場者 $x$ 人に、1人あたりAのえさ箱には3本、Bのえさ箱には1本の人参を入れてもらうと、Aの馬1頭あたりの人参の数が、Bのうさぎ1羽あたりの人参の数より多くなった。このような $x$ の最小値を求める。

1. 問題の内容

(1) $(2a+3b)^2 - 6b(2a+3b)$ を展開して整理した結果を求める。

(2) $(x^2-2x)^2 + 2(x^2-2x) - 15$ を因数分解した結果を求める。

(3) $a, b$ は実数とする。$a=0$ かつ $b=2$ であることは、$a(b-2)=0$ であるための何であるかを問う。選択肢は、①必要十分条件である、②必要条件であるが、十分条件ではない、③十分条件であるが、必要条件ではない、④必要条件でも十分条件でもない。

(4) 2次関数 $y = -2(x-1)^2$ のグラフを $x$ 軸方向に2, $y$ 軸方向に $a$ だけ平行移動したグラフが点 $(1, -2)$ を通るときの $a$ の値を求める。

(5) ある学校の生物部で、Aの小屋で馬を3頭、Bの小屋でうさぎを2羽飼育している。イベント前、Aのえさ箱の中に2本、Bのえさ箱の中に12本残っていた。イベントで、来場者 $x$ 人に、1人あたりAのえさ箱には3本、Bのえさ箱には1本の人参を入れてもらうと、Aの馬1頭あたりの人参の数が、Bのうさぎ1羽あたりの人参の数より多くなった。このような $x$ の最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $(2a+3b)^2 - 6b(2a+3b)$ を展開する。

$(2a+3b)^2 - 6b(2a+3b) = (4a^2 + 12ab + 9b^2) - (12ab + 18b^2) = 4a^2 + 12ab + 9b^2 - 12ab - 18b^2 = 4a^2 - 9b^2$

(2) $(x^2-2x)^2 + 2(x^2-2x) - 15$ を因数分解する。$t = x^2 - 2x$ と置くと、$t^2 + 2t - 15 = (t+5)(t-3)$ となる。

よって、$(x^2-2x+5)(x^2-2x-3) = (x^2-2x+5)(x-3)(x+1)$

(3)

$a=0$ かつ $b=2$ ならば $a(b-2) = 0 \times (2-2) = 0$ は成立する。

$a(b-2)=0$ ならば、$a=0$ または $b=2$ である。$a=0$ かつ $b=2$ とは限らない。

したがって、 $a=0$ かつ $b=2$ であることは、$a(b-2)=0$ であるための十分条件であるが、必要条件ではない。

(4) $y = -2(x-1)^2$ のグラフを $x$ 軸方向に2, $y$ 軸方向に $a$ だけ平行移動すると、$y - a = -2(x-2-1)^2$ となる。

つまり、$y = -2(x-3)^2 + a$ である。

このグラフが $(1, -2)$ を通るから、 $-2 = -2(1-3)^2 + a$

$-2 = -2(-2)^2 + a$

$-2 = -2(4) + a$

$-2 = -8 + a$

$a = 6$

(5) イベント前、Aのえさ箱には2本、Bのえさ箱には12本ある。

イベント中、Aのえさ箱には $2 + 3x$ 本、Bのえさ箱には $12 + x$ 本となる。

Aの馬1頭あたりの人参の数は $\frac{2+3x}{3}$、Bのうさぎ1羽あたりの人参の数は $\frac{12+x}{2}$。

$\frac{2+3x}{3} > \frac{12+x}{2}$

$2(2+3x) > 3(12+x)$

$4+6x > 36 + 3x$

$3x > 32$

$x > \frac{32}{3} = 10.666...$

$x$ は整数なので、$x$ の最小値は 11

3. 最終的な答え

(1) $4a^2 - 9b^2$

(2) $(x^2-2x+5)(x-3)(x+1)$

(3) ③

(4) 6

(5) 11