2次関数 $y=2x^2 - ax + a - 1$ のグラフをCとする。 (1) グラフCの頂点の座標を求める。 (2) グラフCがx軸の $-1 < x < 1$ の部分と、異なる2点で交わるための$a$の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y=2x^2 - ax + a - 1$ のグラフをCとする。

(1) グラフCの頂点の座標を求める。

(2) グラフCがx軸の $-1 < x < 1$ の部分と、異なる2点で交わるための$a$の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) グラフCの頂点の座標を求める。

与えられた2次関数を平方完成する。

$y = 2x^2 - ax + a - 1$

$y = 2(x^2 - \frac{a}{2}x) + a - 1$

$y = 2(x - \frac{a}{4})^2 - 2(\frac{a}{4})^2 + a - 1$

$y = 2(x - \frac{a}{4})^2 - \frac{2a^2}{16} + a - 1$

$y = 2(x - \frac{a}{4})^2 - \frac{a^2}{8} + a - 1$

$y = 2(x - \frac{a}{4})^2 + \frac{-a^2 + 8a - 8}{8}$

よって、頂点の座標は $(\frac{a}{4}, \frac{-a^2 + 8a - 8}{8})$ となる。

ア = 4

イ = -1

ウ = 8

エ = 8

(2) グラフCがx軸の $-1 < x < 1$ の部分と、異なる2点で交わるための$a$の値の範囲を求める。

以下の条件が必要となる。

(i) 判別式 $D > 0$

(ii) 軸 $\frac{a}{4}$ について、$-1 < \frac{a}{4} < 1$

(iii) $f(-1) > 0$ かつ $f(1) > 0$

(i) $D = (-a)^2 - 4(2)(a - 1) > 0$

$a^2 - 8a + 8 > 0$

$a = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 32}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{8 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{2}$

$a < 4 - 2\sqrt{2}, a > 4 + 2\sqrt{2}$

(ii) $-1 < \frac{a}{4} < 1$

$-4 < a < 4$

(iii) $f(-1) = 2(-1)^2 - a(-1) + a - 1 > 0$

$2 + a + a - 1 > 0$

$2a + 1 > 0$

$a > -\frac{1}{2}$

$f(1) = 2(1)^2 - a(1) + a - 1 > 0$

$2 - a + a - 1 > 0$

$1 > 0$ (常に成り立つ)

(i), (ii), (iii) の条件をすべて満たす $a$ の範囲を求める。

$-4 < a < 4$ であり、$a > -\frac{1}{2}$ より $-\frac{1}{2} < a < 4$

$a < 4 - 2\sqrt{2}$ より $-\frac{1}{2} < a < 4 - 2\sqrt{2}$

$-\frac{1}{2} < a < 4 - 2\sqrt{2}$

オ = 1

カ = 2

キ = 4

ク = 2

3. 最終的な答え

(1) グラフCの頂点の座標は $(\frac{a}{4}, \frac{-a^2 + 8a - 8}{8})$ である。

(2) グラフCが、x軸の $-1 < x < 1$ の部分と、異なる2点で交わるためのaの値の範囲は $-\frac{1}{2} < a < 4 - 2\sqrt{2}$ である。