与えられた連立一次方程式の解を求める問題です。係数行列と変数のベクトル、そしてゼロベクトルが与えられています。連立一次方程式は、 $ \begin{bmatrix} 1 & -4 & 3 & 4 & -3 \\ 1 & -2 & 0 & 1 & -2 \\ -1 & 2 & 2 & 1 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} $ で表されます。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式の解を求める問題です。係数行列と変数のベクトル、そしてゼロベクトルが与えられています。連立一次方程式は、

$$

\begin{bmatrix}

1 & -4 & 3 & 4 & -3 \\

1 & -2 & 0 & 1 & -2 \\

-1 & 2 & 2 & 1 & 4

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

x_1 \\

x_2 \\

x_3 \\

x_4 \\

x_5

\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}

0 \\

0 \\

0

\end{bmatrix}

$$

で表されます。

2. 解き方の手順

この連立一次方程式を解くために、ガウスの消去法を用いて係数行列を簡約化します。

まず、与えられた行列を拡大行列として書き出します。

$$

\begin{bmatrix}

1 & -4 & 3 & 4 & -3 & 0 \\

1 & -2 & 0 & 1 & -2 & 0 \\

-1 & 2 & 2 & 1 & 4 & 0

\end{bmatrix}

$$

2行目から1行目を引きます（R2 = R2 - R1）。

$$

\begin{bmatrix}

1 & -4 & 3 & 4 & -3 & 0 \\

0 & 2 & -3 & -3 & 1 & 0 \\

-1 & 2 & 2 & 1 & 4 & 0

\end{bmatrix}

$$

3行目に1行目を加えます（R3 = R3 + R1）。

$$

\begin{bmatrix}

1 & -4 & 3 & 4 & -3 & 0 \\

0 & 2 & -3 & -3 & 1 & 0 \\

0 & -2 & 5 & 5 & 1 & 0

\end{bmatrix}

$$

3行目に2行目を加えます（R3 = R3 + R2）。

$$

\begin{bmatrix}

1 & -4 & 3 & 4 & -3 & 0 \\

0 & 2 & -3 & -3 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 2 & 2 & 2 & 0

\end{bmatrix}

$$

3行目を2で割ります（R3 = R3 / 2）。

$$

\begin{bmatrix}

1 & -4 & 3 & 4 & -3 & 0 \\

0 & 2 & -3 & -3 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0

\end{bmatrix}

$$

2行目に3行目の3倍を加えます(R2 = R2 + 3R3)。

$$

\begin{bmatrix}

1 & -4 & 3 & 4 & -3 & 0 \\

0 & 2 & 0 & 0 & 4 & 0 \\

0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0

\end{bmatrix}

$$

2行目を2で割ります(R2=R2/2)。

$$

\begin{bmatrix}

1 & -4 & 3 & 4 & -3 & 0 \\

0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 \\

0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0

\end{bmatrix}

$$

1行目に2行目の4倍を足します(R1 = R1 + 4R2)。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 0 & 3 & 4 & 5 & 0 \\

0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 \\

0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0

\end{bmatrix}

$$

1行目から3行目の3倍を引きます(R1 = R1 - 3R3)。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 & 1 & 2 & 0 \\

0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 \\

0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0

\end{bmatrix}

$$

よって、以下の方程式を得ます。

$x_1 + x_4 + 2x_5 = 0$

$x_2 + 2x_5 = 0$

$x_3 + x_4 + x_5 = 0$

$x_4$と$x_5$を自由変数とします。$x_4 = s$, $x_5 = t$ とおくと、

$x_1 = -s - 2t$

$x_2 = -2t$

$x_3 = -s - t$

解ベクトルは、

$$

\begin{bmatrix}

x_1 \\

x_2 \\

x_3 \\

x_4 \\

x_5

\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}

-s - 2t \\

-2t \\

-s - t \\

s \\

t

\end{bmatrix}

= s \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} -2 \\ -2 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

$$

3. 最終的な答え

連立一次方程式の解は

$$

\begin{bmatrix}

x_1 \\

x_2 \\

x_3 \\

x_4 \\

x_5

\end{bmatrix}

= s \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} -2 \\ -2 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

$$

となります。ここで、$s$と$t$は任意の実数です。