与えられた4x4行列の行列式を計算すること。行列は以下の通りです。 $ \begin{vmatrix} 4 & 0 & 5 & 1 \\ 0 & -2 & 2 & 0 \\ -3 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & 4 & 0 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算すること。行列は以下の通りです。

$\begin{vmatrix} 4 & 0 & 5 & 1 \\ 0 & -2 & 2 & 0 \\ -3 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & 4 & 0 \end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、2行目で展開します。

$\begin{vmatrix} 4 & 0 & 5 & 1 \\ 0 & -2 & 2 & 0 \\ -3 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & 4 & 0 \end{vmatrix} = (-2) \cdot (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 4 & 5 & 1 \\ -3 & 1 & -1 \\ 0 & 4 & 0 \end{vmatrix} + 2 \cdot (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 4 & 0 & 1 \\ -3 & 0 & -1 \\ 0 & 3 & 0 \end{vmatrix}$

次に、それぞれの3x3行列式を計算します。

最初の3x3行列式は3行目で展開します。

$\begin{vmatrix} 4 & 5 & 1 \\ -3 & 1 & -1 \\ 0 & 4 & 0 \end{vmatrix} = 4 \cdot (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ -3 & -1 \end{vmatrix} = -4(4(-1) - 1(-3)) = -4(-4+3) = -4(-1) = 4$

2番目の3x3行列式は2行目で展開します。

$\begin{vmatrix} 4 & 0 & 1 \\ -3 & 0 & -1 \\ 0 & 3 & 0 \end{vmatrix} = 3 \cdot (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ -3 & -1 \end{vmatrix} = -3(4(-1) - 1(-3)) = -3(-4+3) = -3(-1) = 3$

したがって、

$\begin{vmatrix} 4 & 0 & 5 & 1 \\ 0 & -2 & 2 & 0 \\ -3 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & 4 & 0 \end{vmatrix} = (-2)(1)(4) + 2(-1)(3) = -8 - 6 = -14$

3. 最終的な答え

-14