$x > 0$、$y > 0$ のとき、次の不等式を証明し、等号が成り立つ条件を求めます。 (1) $x + \frac{8}{x} \ge 4\sqrt{2}$ (2) $(3x + \frac{1}{y})(\frac{3}{x} + y) \ge 16$

1. 問題の内容

$x > 0$、$y > 0$ のとき、次の不等式を証明し、等号が成り立つ条件を求めます。

(1) $x + \frac{8}{x} \ge 4\sqrt{2}$

(2) $(3x + \frac{1}{y})(\frac{3}{x} + y) \ge 16$

2. 解き方の手順

(1) $x > 0$、$\frac{8}{x} > 0$ なので、相加平均・相乗平均の不等式を利用します。

$$x + \frac{8}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{8}{x}} = 2\sqrt{8} = 2 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$$

よって、$x + \frac{8}{x} \ge 4\sqrt{2}$ が成り立ちます。

等号が成り立つのは、$x = \frac{8}{x}$ のときです。

$x^2 = 8$ より、$x = \pm 2\sqrt{2}$ ですが、$x > 0$ なので、$x = 2\sqrt{2}$ です。

(2) 不等式の左辺を展開します。

$$(3x + \frac{1}{y})(\frac{3}{x} + y) = 9 + 3xy + \frac{3}{xy} + 1 = 10 + 3xy + \frac{3}{xy}$$

ここで、$3xy > 0$、$\frac{3}{xy} > 0$ なので、相加平均・相乗平均の不等式を利用します。

$$3xy + \frac{3}{xy} \ge 2\sqrt{3xy \cdot \frac{3}{xy}} = 2\sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6$$

よって、

$$(3x + \frac{1}{y})(\frac{3}{x} + y) = 10 + 3xy + \frac{3}{xy} \ge 10 + 6 = 16$$

したがって、$(3x + \frac{1}{y})(\frac{3}{x} + y) \ge 16$ が成り立ちます。

等号が成り立つのは、$3xy = \frac{3}{xy}$ のときです。

$(xy)^2 = 1$ より、$xy = \pm 1$ ですが、$x > 0$、$y > 0$ なので、$xy = 1$ です。

3. 最終的な答え

(1) $x + \frac{8}{x} \ge 4\sqrt{2}$。等号成立は $x = 2\sqrt{2}$ のとき。

(2) $(3x + \frac{1}{y})(\frac{3}{x} + y) \ge 16$。等号成立は $xy = 1$ のとき。