与えられた不等式、連立不等式を解く問題です。具体的には、 (1) $2x^2 + 5x - 3 < 0$ (2) $x^2 + 6x + 9 > 0$ (3) $\begin{cases} 2x^2 - 3x - 1 \geq 0 \\ -x^2 + 4 > 0 \end{cases}$ の解を求める必要があります。

1. 問題の内容

与えられた不等式、連立不等式を解く問題です。具体的には、

(1) $2x^2 + 5x - 3 < 0$

(2) $x^2 + 6x + 9 > 0$

(3)

$\begin{cases}

2x^2 - 3x - 1 \geq 0 \\

-x^2 + 4 > 0

\end{cases}$

の解を求める必要があります。

2. 解き方の手順

(1) $2x^2 + 5x - 3 < 0$ を解きます。

まず、左辺を因数分解します。

$2x^2 + 5x - 3 = (2x - 1)(x + 3)$

したがって、$(2x - 1)(x + 3) < 0$ となります。

この不等式を満たす $x$ の範囲は $-3 < x < \frac{1}{2}$ です。

(2) $x^2 + 6x + 9 > 0$ を解きます。

左辺を因数分解すると、 $(x + 3)^2 > 0$ となります。

$(x + 3)^2$ は常に0以上ですが、$x = -3$ のとき $(x + 3)^2 = 0$ となるため、この不等式を満たすのは $x \neq -3$ のすべての実数です。

(3) 連立不等式

$\begin{cases}

2x^2 - 3x - 1 \geq 0 \\

-x^2 + 4 > 0

\end{cases}$

を解きます。

まず、$-x^2 + 4 > 0$ を解きます。

$x^2 < 4$ となり、$-2 < x < 2$ となります。

次に、$2x^2 - 3x - 1 \geq 0$ を解きます。

解の公式を用いて、$2x^2 - 3x - 1 = 0$ の解を求めます。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$

したがって、$x \leq \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$ または $x \geq \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$ となります。

連立不等式の解は、$-2 < x < 2$ と $x \leq \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$ または $x \geq \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$ の共通部分です。

$\frac{3 - \sqrt{17}}{4} \approx \frac{3 - 4.12}{4} \approx -0.28$

$\frac{3 + \sqrt{17}}{4} \approx \frac{3 + 4.12}{4} \approx 1.78$

したがって、$-2 < x \leq \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$ または $\frac{3 + \sqrt{17}}{4} \leq x < 2$ が解となります。

3. 最終的な答え

(1) $-3 < x < \frac{1}{2}$

(2) $x \neq -3$ のすべての実数

(3) $-2 < x \leq \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$ または $\frac{3 + \sqrt{17}}{4} \leq x < 2$