与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。 行列は以下の通りです。 $\begin{vmatrix} 4 & 0 & 5 & 1 \\ 0 & -2 & 2 & 0 \\ -3 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & 4 & 0 \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。

行列は以下の通りです。

$\begin{vmatrix}

4 & 0 & 5 & 1 \\

0 & -2 & 2 & 0 \\

-3 & 0 & 1 & -1 \\

0 & 3 & 4 & 0

\end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

まず、第4列に注目すると、要素が0,0,-1,0となっているため、第4列で余因子展開を行うのが効率的です。

行列式を$D$とすると、

$D = 1 \cdot (-1)^{1+4} \begin{vmatrix}

0 & -2 & 2 \\

-3 & 0 & 1 \\

0 & 3 & 4

\end{vmatrix} + (-1) \cdot (-1)^{3+4} \begin{vmatrix}

4 & 0 & 5 \\

0 & -2 & 2 \\

0 & 3 & 4

\end{vmatrix} $

$D = - \begin{vmatrix}

0 & -2 & 2 \\

-3 & 0 & 1 \\

0 & 3 & 4

\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}

4 & 0 & 5 \\

0 & -2 & 2 \\

0 & 3 & 4

\end{vmatrix}$

左側の3x3行列の行列式を計算します。第1列で余因子展開すると、

$\begin{vmatrix}

0 & -2 & 2 \\

-3 & 0 & 1 \\

0 & 3 & 4

\end{vmatrix} = -3 \cdot (-1)^{2+1} \begin{vmatrix}

-2 & 2 \\

3 & 4

\end{vmatrix} = 3((-2) \cdot 4 - 2 \cdot 3) = 3(-8 - 6) = 3(-14) = -42$

右側の3x3行列の行列式を計算します。第1列で余因子展開すると、

$\begin{vmatrix}

4 & 0 & 5 \\

0 & -2 & 2 \\

0 & 3 & 4

\end{vmatrix} = 4 \cdot \begin{vmatrix}

-2 & 2 \\

3 & 4

\end{vmatrix} = 4((-2) \cdot 4 - 2 \cdot 3) = 4(-8-6) = 4(-14) = -56$

したがって、

$D = -(-42) + (-56) = 42 - 56 = -14$

3. 最終的な答え

-14