$f(x) = x^3 + ax^2 - b^2$ と $g(x) = x^3 + (a-3b)x + 2(b-1)$ が、いずれも $x-1$ を因数に持つとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$f(x) = x^3 + ax^2 - b^2$ と $g(x) = x^3 + (a-3b)x + 2(b-1)$ が、いずれも $x-1$ を因数に持つとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$f(x)$ と $g(x)$ が $x-1$ を因数に持つということは、$f(1) = 0$ かつ $g(1) = 0$ が成り立つことを意味する。

まず、$f(1) = 0$ を計算する。

$f(1) = 1^3 + a(1)^2 - b^2 = 1 + a - b^2 = 0$

よって、

$a = b^2 - 1$ ...(1)

次に、$g(1) = 0$ を計算する。

$g(1) = 1^3 + (a-3b)(1) + 2(b-1) = 1 + a - 3b + 2b - 2 = a - b - 1 = 0$

よって、

$a = b + 1$ ...(2)

(1) と (2) より、

$b^2 - 1 = b + 1$

$b^2 - b - 2 = 0$

$(b-2)(b+1) = 0$

$b = 2, -1$

$b = 2$ のとき、(2)より

$a = 2 + 1 = 3$

$b = -1$ のとき、(2)より

$a = -1 + 1 = 0$

3. 最終的な答え

$(a, b) = (3, 2), (0, -1)$