2次関数 $f(x) = x^2 - 2x + 2$ (定義域: $0 \le x \le a$) について、以下の問題を解く。 (1) $f(a) = f(0)$ となる $a$ の値を求める。 (2) $0 < a < 1$, $1 < a < 2$, $a > 2$ のそれぞれの場合について、関数 $f(x)$ の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 2x + 2$ (定義域: $0 \le x \le a$) について、以下の問題を解く。

(1) $f(a) = f(0)$ となる $a$ の値を求める。

(2) $0 < a < 1$, $1 < a < 2$, $a > 2$ のそれぞれの場合について、関数 $f(x)$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^2 - 2x + 2$ について、$f(a) = f(0)$ となる $a$ の値を求める。

$f(0) = 0^2 - 2(0) + 2 = 2$

$f(a) = a^2 - 2a + 2$

$f(a) = f(0)$ より、$a^2 - 2a + 2 = 2$

$a^2 - 2a = 0$

$a(a - 2) = 0$

よって、$a = 0, 2$

$a > 0$ であるから、$a = 2$

(2) $f(x) = x^2 - 2x + 2 = (x-1)^2 + 1$ であるから、軸は $x=1$ である。

(ア) $0 < a < 1$ のとき

定義域 $0 \le x \le a$ に軸 $x=1$ は含まれない。

$f(x)$ は定義域内で単調減少である。

最大値: $f(0) = 2$

最小値: $f(a) = a^2 - 2a + 2$

(イ) $1 < a < 2$ のとき

定義域 $0 \le x \le a$ に軸 $x=1$ が含まれる。

最小値: $f(1) = 1$

最大値: $f(0) = 2$

(ウ) $a > 2$ のとき

定義域 $0 \le x \le a$ に軸 $x=1$ が含まれる。

最小値: $f(1) = 1$

$f(0) = 2$

$f(a) = a^2 - 2a + 2$

$x = 1$ から遠い方の端点で最大となる。$a > 2$ より、$f(a) > f(0)$ である。

最大値: $f(a) = a^2 - 2a + 2$

3. 最終的な答え

(1) $a = 2$

(2)

(ア) $0 < a < 1$ のとき

最大値: $2$

最小値: $a^2 - 2a + 2$

(イ) $1 < a < 2$ のとき

最大値: $2$

最小値: $1$

(ウ) $a > 2$ のとき

最大値: $a^2 - 2a + 2$

最小値: $1$