与えられた不等式 $3x^2 - 5x + 1 < 0$ を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $3x^2 - 5x + 1 < 0$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、二次方程式 $3x^2 - 5x + 1 = 0$ の解を求めます。これは、二次方程式の解の公式を用いて解くことができます。解の公式は、二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解が、

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

で与えられるというものです。今回の問題では、$a = 3, b = -5, c = 1$ なので、解の公式に代入すると、

$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(3)(1)}}{2(3)}$

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 12}}{6}$

$x = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{6}$

したがって、$3x^2 - 5x + 1 = 0$ の解は、$x = \frac{5 + \sqrt{13}}{6}$ と $x = \frac{5 - \sqrt{13}}{6}$ です。

次に、二次不等式 $3x^2 - 5x + 1 < 0$ の解を求めます。二次関数のグラフ $y = 3x^2 - 5x + 1$ は下に凸であるため、$3x^2 - 5x + 1 < 0$ となるのは、$x$ が二つの解 $\frac{5 - \sqrt{13}}{6}$ と $\frac{5 + \sqrt{13}}{6}$ の間にあるときです。

したがって、不等式 $3x^2 - 5x + 1 < 0$ の解は、

$\frac{5 - \sqrt{13}}{6} < x < \frac{5 + \sqrt{13}}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{5 - \sqrt{13}}{6} < x < \frac{5 + \sqrt{13}}{6}$