(1) 直線 $x=4$ を軸とし、2点 $(2, -3)$, $(-2, 13)$ を通る放物線をグラフにもつ2次関数を求めよ。 (2) 3点 $(1, -5)$, $(2, -4)$, $(-1, 5)$ を通る放物線をグラフにもつ2次関数を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 直線 $x=4$ を軸とし、2点 $(2, -3)$, $(-2, 13)$ を通る放物線をグラフにもつ2次関数を求めよ。

(2) 3点 $(1, -5)$, $(2, -4)$, $(-1, 5)$ を通る放物線をグラフにもつ2次関数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 軸が $x=4$ なので、求める2次関数は $y = a(x-4)^2 + q$ と表せる。

この放物線が2点 $(2, -3)$, $(-2, 13)$ を通るので、それぞれの点を代入して、

$-3 = a(2-4)^2 + q$

$13 = a(-2-4)^2 + q$

つまり、

$-3 = 4a + q$

$13 = 36a + q$

この2つの式を連立して解く。2つ目の式から1つ目の式を引くと、

$13 - (-3) = (36a + q) - (4a + q)$

$16 = 32a$

$a = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$

これを $-3 = 4a + q$ に代入すると、

$-3 = 4 \cdot \frac{1}{2} + q$

$-3 = 2 + q$

$q = -5$

よって、求める2次関数は $y = \frac{1}{2}(x-4)^2 - 5$

(2) 求める2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とおく。

この放物線が3点 $(1, -5)$, $(2, -4)$, $(-1, 5)$ を通るので、それぞれの点を代入して、

$-5 = a(1)^2 + b(1) + c$

$-4 = a(2)^2 + b(2) + c$

$5 = a(-1)^2 + b(-1) + c$

つまり、

$a + b + c = -5$

$4a + 2b + c = -4$

$a - b + c = 5$

この3つの式を連立して解く。

1つ目の式と3つ目の式を足すと、

$(a + b + c) + (a - b + c) = -5 + 5$

$2a + 2c = 0$

$a = -c$

これを1つ目の式と2つ目の式に代入すると、

$-c + b + c = -5$

$4(-c) + 2b + c = -4$

$b = -5$

$-3c + 2b = -4$

$-3c + 2(-5) = -4$

$-3c - 10 = -4$

$-3c = 6$

$c = -2$

$a = -c = 2$

よって、求める2次関数は $y = 2x^2 - 5x - 2$

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{1}{2}(x-4)^2 - 5$

(2) $y = 2x^2 - 5x - 2$