問題7について、以下の2つの問題を解きます。 (1) 2次不等式 $x^2 + 2mx + 6m - 5 > 0$ の解がすべての実数であるとき、定数 $m$ の値の範囲を求めます。 (2) 2次方程式 $3x^2 - 2kx + k = 0$ が実数解をもたないような定数 $k$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

問題7について、以下の2つの問題を解きます。

(1) 2次不等式 $x^2 + 2mx + 6m - 5 > 0$ の解がすべての実数であるとき、定数 $m$ の値の範囲を求めます。

(2) 2次方程式 $3x^2 - 2kx + k = 0$ が実数解をもたないような定数 $k$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 2次不等式 $x^2 + 2mx + 6m - 5 > 0$ の解がすべての実数である条件は、判別式 $D < 0$ となることです。

判別式 $D$ は、

$D = (2m)^2 - 4(1)(6m - 5)$

$D = 4m^2 - 24m + 20$

$D = 4(m^2 - 6m + 5)$

$D < 0$ となる条件は、$m^2 - 6m + 5 < 0$

$(m-1)(m-5) < 0$

$1 < m < 5$

(2) 2次方程式 $3x^2 - 2kx + k = 0$ が実数解をもたない条件は、判別式 $D < 0$ となることです。

判別式 $D$ は、

$D = (-2k)^2 - 4(3)(k)$

$D = 4k^2 - 12k$

$D < 0$ となる条件は、$4k^2 - 12k < 0$

$4k(k - 3) < 0$

$0 < k < 3$

3. 最終的な答え

(1) $1 < m < 5$

(2) $0 < k < 3$