行列 $A = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$ と $B = \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$ が与えられたとき、次の行列の計算を行う。 (1) $A + B$ (2) $A - B$ (3) $A^2$ (4) $B^2$ (5) $(A+B)(A-B)$

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$ と $B = \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$ が与えられたとき、次の行列の計算を行う。

(1) $A + B$

(2) $A - B$

(3) $A^2$

(4) $B^2$

(5) $(A+B)(A-B)$

2. 解き方の手順

(1) $A+B$

行列の足し算は、対応する要素同士を足し合わせることで計算する。

$A + B = \begin{bmatrix} 5+5 & 1+(-2) \\ 0+(-1) & 3+4 \end{bmatrix}$

(2) $A-B$

行列の引き算は、対応する要素同士を引き算することで計算する。

$A - B = \begin{bmatrix} 5-5 & 1-(-2) \\ 0-(-1) & 3-4 \end{bmatrix}$

(3) $A^2$

行列 $A$ の二乗は、$A \times A$ で計算する。

$A^2 = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 5 \times 5 + 1 \times 0 & 5 \times 1 + 1 \times 3 \\ 0 \times 5 + 3 \times 0 & 0 \times 1 + 3 \times 3 \end{bmatrix}$

(4) $B^2$

行列 $B$ の二乗は、$B \times B$ で計算する。

$B^2 = \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 5 \times 5 + (-2) \times (-1) & 5 \times (-2) + (-2) \times 4 \\ (-1) \times 5 + 4 \times (-1) & (-1) \times (-2) + 4 \times 4 \end{bmatrix}$

(5) $(A+B)(A-B)$

まず、$A+B$ と $A-B$ を計算する。

$A + B = \begin{bmatrix} 10 & -1 \\ -1 & 7 \end{bmatrix}$

$A - B = \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$

$(A+B)(A-B) = \begin{bmatrix} 10 & -1 \\ -1 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 10 \times 0 + (-1) \times 1 & 10 \times 3 + (-1) \times (-1) \\ (-1) \times 0 + 7 \times 1 & (-1) \times 3 + 7 \times (-1) \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $A + B = \begin{bmatrix} 10 & -1 \\ -1 & 7 \end{bmatrix}$

(2) $A - B = \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$

(3) $A^2 = \begin{bmatrix} 25 & 8 \\ 0 & 9 \end{bmatrix}$

(4) $B^2 = \begin{bmatrix} 27 & -18 \\ -9 & 18 \end{bmatrix}$

(5) $(A+B)(A-B) = \begin{bmatrix} -1 & 31 \\ 7 & -10 \end{bmatrix}$