実数 $x, y$ が不等式 $x^2 + xy + y^2 \le 3$ を満たすとき、$X = x+y$, $Y = xy$ について、点 $(X, Y)$ の存在する範囲を $XY$ 平面上に図示せよ。

1. 問題の内容

実数 $x, y$ が不等式 $x^2 + xy + y^2 \le 3$ を満たすとき、$X = x+y$, $Y = xy$ について、点 $(X, Y)$ の存在する範囲を $XY$ 平面上に図示せよ。

2. 解き方の手順

与えられた不等式を変形し、$X$ と $Y$ で表します。

$x^2 + xy + y^2 = (x+y)^2 - xy$ であるから、

$x^2 + xy + y^2 \le 3$ は、

$(x+y)^2 - xy \le 3$ となります。

$X = x+y$, $Y = xy$ を代入すると、

$X^2 - Y \le 3$ となります。

よって、$Y \ge X^2 - 3$ という条件が得られます。

次に、$x, y$ が実数であるための条件を考えます。$x, y$ を解とする $t$ の2次方程式を考えます。

$t^2 - (x+y)t + xy = 0$ より、

$t^2 - Xt + Y = 0$ となります。

$x, y$ が実数であるためには、この2次方程式の判別式 $D$ が $D \ge 0$ を満たす必要があります。

$D = X^2 - 4Y \ge 0$

よって、$Y \le \frac{X^2}{4}$ という条件が得られます。

したがって、求める範囲は、

$Y \ge X^2 - 3$ かつ $Y \le \frac{X^2}{4}$ を満たす領域となります。

これらの不等式を満たす領域を $XY$ 平面上に図示します。

$Y = X^2 - 3$ と $Y = \frac{X^2}{4}$ の交点を求めます。

$X^2 - 3 = \frac{X^2}{4}$

$\frac{3}{4} X^2 = 3$

$X^2 = 4$

$X = \pm 2$

$X = 2$ のとき、$Y = 1$

$X = -2$ のとき、$Y = 1$

3. 最終的な答え

求める領域は、$Y \ge X^2 - 3$ と $Y \le \frac{X^2}{4}$ で囲まれた領域です。

$Y = X^2 - 3$ (放物線) と $Y = \frac{X^2}{4}$ (放物線) の交点は $(-2, 1)$ と $(2, 1)$ です。

したがって、求める領域は、2つの放物線で囲まれた領域であり、境界を含む。