与えられた式 $3x^2 - xy - 2y^2 - 2x - 3y - 1$ を因数分解してください。

代数学因数分解多項式
2025/7/28

1. 問題の内容

与えられた式 3x2xy2y22x3y13x^2 - xy - 2y^2 - 2x - 3y - 1 を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、xx について整理します。
3x2(y+2)x(2y2+3y+1)3x^2 - (y+2)x - (2y^2 + 3y + 1)
次に、定数項を因数分解します。
2y2+3y+1=(2y+1)(y+1)2y^2 + 3y + 1 = (2y+1)(y+1)
したがって、与式は
3x2(y+2)x(2y+1)(y+1)3x^2 - (y+2)x - (2y+1)(y+1)
となります。これを因数分解することを考えます。
3x2(y+2)x(2y+1)(y+1)=(3x+ay+b)(x+cy+d)3x^2 - (y+2)x - (2y+1)(y+1) = (3x+ay+b)(x+cy+d)
という形に因数分解できると仮定します。
3x2+(3cy+3d+ay+b)x+(acy2+(ad+bc)y+bd)3x^2 + (3cy+3d+ay+b)x + (acy^2 + (ad+bc)y + bd)
3c+a=13c + a = -1
3d+b=23d + b = -2
ac=2ac = -2
ad+bc=3ad + bc = -3
bd=1bd = -1
ここで、ac=2ac=-2 なので (a,c)=(1,2),(1,2),(2,1),(2,1)(a,c) = (1,-2), (-1,2), (2,-1), (-2,1) などが考えられます。
また、bd=1bd=-1なので (b,d)=(1,1),(1,1)(b,d)=(1,-1),(-1,1) などが考えられます。
試行錯誤の結果、 (a,b,c,d)=(1,1,2,1)(a,b,c,d)=(1,-1,-2,1)のとき、
(3x+y1)(x2y+1)=3x26xy+3x+xy2y2+yx+2y1(3x+y-1)(x-2y+1) = 3x^2 - 6xy + 3x + xy - 2y^2 + y - x + 2y - 1
=3x25xy+2x2y2+3y1= 3x^2 - 5xy + 2x - 2y^2 + 3y - 1
これは違います。
(a,b,c,d)=(1,1,2,1)(a,b,c,d) = (-1,1,2,-1) のとき、
(3xy+1)(x+2y1)=3x2+6xy3xxy2y2+y+x+2y1(3x-y+1)(x+2y-1) = 3x^2 + 6xy - 3x -xy -2y^2 + y + x + 2y - 1
=3x2+5xy2x2y2+3y1= 3x^2 + 5xy - 2x - 2y^2 + 3y - 1
これも違います。
3x2(y+2)x(2y+1)(y+1)=(ax+by+c)(dx+ey+f)3x^2 - (y+2)x - (2y+1)(y+1) = (ax+by+c)(dx+ey+f)
もし、a=3a=3, d=1d=1 なら、3e+b=13e+b = -1, 3f+c=23f+c = -2, be=2be = -2, bf+ce=3bf+ce = -3, cf=1cf = -1.
また、(2y+1)(y+1)(2y+1)(y+1) より c=1c = 1 または c=1c = -1, f=1f = -1 または f=1f = 1
(3x2y1)(x+y+1)=3x2+3xy+3x2xy2y22yxy1(3x-2y-1)(x+y+1) = 3x^2 + 3xy + 3x - 2xy - 2y^2 - 2y - x - y - 1
=3x2+xy+2x2y23y1= 3x^2 + xy + 2x - 2y^2 - 3y - 1
これも違います。
(3x+y+1)(x2y1)=3x26xy3x+xy2y2y+x2y1(3x+y+1)(x-2y-1) = 3x^2 -6xy -3x +xy -2y^2 - y +x -2y -1
=3x25xy2x2y23y1= 3x^2 -5xy -2x -2y^2 -3y -1
もう一度、定数項を丁寧に因数分解します。
3x2xy2y22x3y13x^2 - xy - 2y^2 - 2x - 3y - 1
=3x2(y+2)x(2y2+3y+1)= 3x^2 - (y+2)x - (2y^2+3y+1)
=3x2(y+2)x(2y+1)(y+1)= 3x^2 - (y+2)x - (2y+1)(y+1)
(3x+y+1)(x2y1)=3x26xy3x+xy2y2y+x2y1=3x25xy2x2y23y1(3x + y + 1)(x - 2y - 1) = 3x^2 -6xy - 3x +xy -2y^2 - y +x - 2y - 1 = 3x^2 - 5xy -2x -2y^2 -3y -1
(3x2y1)(x+y+1)=3x2+3xy+3x2xy2y22yxy1=3x2+xy+2x2y23y1(3x - 2y - 1)(x + y + 1) = 3x^2 + 3xy + 3x - 2xy - 2y^2 - 2y - x - y - 1 = 3x^2 + xy + 2x - 2y^2 -3y - 1
3x2xy2y23x^2 - xy - 2y^2 を因数分解すると (3x+2y)(xy)(3x+2y)(x-y)
(3x+2y+a)(xy+b)=3x23xy+3bx+2xy2y2+2by+axay+ab=3x2xy2y2+(3b+a)x+(2ba)y+ab(3x + 2y + a)(x - y + b) = 3x^2 - 3xy + 3bx + 2xy - 2y^2 + 2by + ax - ay + ab = 3x^2 - xy - 2y^2 + (3b+a)x + (2b-a)y + ab
3b+a=23b + a = -2
2ba=32b - a = -3
ab=1ab = -1
5b=55b = -5 より b=1b=-1, a=1a=1
ab=(1)(1)=1ab = (1)(-1) = -1
(3x+2y+1)(xy1)=3x23xy3x+2xy2y22y+xy1=3x2xy2x2y23y1(3x + 2y + 1)(x - y - 1) = 3x^2 - 3xy - 3x + 2xy - 2y^2 - 2y + x - y - 1 = 3x^2 - xy - 2x - 2y^2 - 3y - 1

3. 最終的な答え

(3x+2y+1)(xy1)(3x + 2y + 1)(x - y - 1)

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