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与えられた式 $(x-y)^2 - x + y - 2$ を因数分解する。

代数学因数分解多項式式の展開置換
2025/7/28

1. 問題の内容

与えられた式 (x−y)2−x+y−2(x-y)^2 - x + y - 2 を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、x−y=Mx-y = M と置換すると、与式は M2−x+y−2M^2 - x + y - 2 となる。
次に、−x+y-x+y を −(x−y)- (x - y) に変形し、MM で表すと −M-M となる。
したがって、与式は M2−M−2M^2 - M - 2 となる。
この式を因数分解すると、(M−2)(M+1)(M-2)(M+1) となる。
最後に、MM を x−yx-y に戻すと、(x−y−2)(x−y+1)(x-y-2)(x-y+1) となる。
展開して確認すると、
(x−y−2)(x−y+1)=(x−y)2+(x−y)(−2+1)−2=(x−y)2−(x−y)−2=(x−y)2−x+y−2(x-y-2)(x-y+1) = (x-y)^2 + (x-y)(-2+1) - 2 = (x-y)^2 - (x-y) - 2 = (x-y)^2 - x + y - 2
となり、元の式と一致する。

3. 最終的な答え

(x−y−2)(x−y+1)(x-y-2)(x-y+1)

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