$R^n$ のベクトル $u_1, u_2, u_3, u_4$ は1次独立である。このとき、次のベクトル $v_1, v_2, v_3, v_4$ が1次独立か1次従属かを判定する問題。 $v_1 = u_1 + u_2$ $v_2 = u_2 + u_3$ $v_3 = u_3 + u_4$ $v_4 = u_4 + u_1$

1. 問題の内容

$R^n$ のベクトル $u_1, u_2, u_3, u_4$ は1次独立である。このとき、次のベクトル $v_1, v_2, v_3, v_4$ が1次独立か1次従属かを判定する問題。

$v_1 = u_1 + u_2$

$v_2 = u_2 + u_3$

$v_3 = u_3 + u_4$

$v_4 = u_4 + u_1$

2. 解き方の手順

ベクトル $v_1, v_2, v_3, v_4$ が1次従属であるか調べるために、

$c_1v_1 + c_2v_2 + c_3v_3 + c_4v_4 = 0$ を満たす $c_1, c_2, c_3, c_4$ が、すべて0であるかを確認する。

もし、すべて0でなければ1次従属である。

$c_1v_1 + c_2v_2 + c_3v_3 + c_4v_4 = c_1(u_1 + u_2) + c_2(u_2 + u_3) + c_3(u_3 + u_4) + c_4(u_4 + u_1) = 0$

これを整理すると、

$(c_1 + c_4)u_1 + (c_1 + c_2)u_2 + (c_2 + c_3)u_3 + (c_3 + c_4)u_4 = 0$

$u_1, u_2, u_3, u_4$ は1次独立なので、

$c_1 + c_4 = 0$

$c_1 + c_2 = 0$

$c_2 + c_3 = 0$

$c_3 + c_4 = 0$

この連立方程式を解く。

$c_1 = -c_4$

$c_2 = -c_1 = c_4$

$c_3 = -c_2 = -c_4$

$c_4 = -c_3 = c_4$

$c_1 = -c_4, c_2 = c_4, c_3 = -c_4$

$c_4$ が任意の値をとることができる。

例えば、$c_4 = 1$ とすると、$c_1 = -1, c_2 = 1, c_3 = -1$ となり、すべてが0ではない。

よって、$v_1, v_2, v_3, v_4$ は1次従属である。

具体的には、

$-v_1 + v_2 - v_3 + v_4 = -(u_1 + u_2) + (u_2 + u_3) - (u_3 + u_4) + (u_4 + u_1) = -u_1 - u_2 + u_2 + u_3 - u_3 - u_4 + u_4 + u_1 = 0$

つまり、少なくとも1つの $c_i$ が0でなくても線形結合が0になるので、$v_1, v_2, v_3, v_4$ は1次従属である。

3. 最終的な答え

1次従属