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画像に写っている以下の10個の因数分解の問題を解きます。 (1) $x^2 - 3x - 4$ (2) $x^2 - \frac{5}{3}x - \frac{2}{3}$ (3) $36x^2 - 16y^2$ (4) $6x^2 - 5ax + a^2$ (5) $(a+b)^2 - 9(a+b) + 18$ (6) $x^2(x-1) - 4x + 4$ (7) $x^3 - x^2y - 30xy^2$ (8) $(x-y)^2 - x + y - 2$ (9) $p^2 - q^2 - r^2 + 2qr$ (10) $(x^2 - x)^2 - 8x^2 + 8x + 12$

代数学因数分解多項式二次方程式三次方程式
2025/7/28

1. 問題の内容

画像に写っている以下の10個の因数分解の問題を解きます。
(1) x2−3x−4x^2 - 3x - 4
(2) x2−53x−23x^2 - \frac{5}{3}x - \frac{2}{3}
(3) 36x2−16y236x^2 - 16y^2
(4) 6x2−5ax+a26x^2 - 5ax + a^2
(5) (a+b)2−9(a+b)+18(a+b)^2 - 9(a+b) + 18
(6) x2(x−1)−4x+4x^2(x-1) - 4x + 4
(7) x3−x2y−30xy2x^3 - x^2y - 30xy^2
(8) (x−y)2−x+y−2(x-y)^2 - x + y - 2
(9) p2−q2−r2+2qrp^2 - q^2 - r^2 + 2qr
(10) (x2−x)2−8x2+8x+12(x^2 - x)^2 - 8x^2 + 8x + 12

2. 解き方の手順

各問題ごとに手順を説明します。
(1) x2−3x−4x^2 - 3x - 4
和が-3, 積が-4になる2つの数を見つけます。それは1と-4です。
よって、x2−3x−4=(x+1)(x−4)x^2 - 3x - 4 = (x+1)(x-4)
(2) x2−53x−23x^2 - \frac{5}{3}x - \frac{2}{3}
まず、全体を3倍して係数を整数にします。3x2−5x−23x^2 - 5x - 2
次に、和が-5, 積が3∗(−2)=−63*(-2) = -6になる2つの数を見つけます。それは1と-6です。
3x2−5x−2=3x2+x−6x−2=x(3x+1)−2(3x+1)=(x−2)(3x+1)3x^2 - 5x - 2 = 3x^2 + x - 6x - 2 = x(3x+1) - 2(3x+1) = (x-2)(3x+1)
よって、x2−53x−23=13(x−2)(3x+1)=(x−2)(x+13)x^2 - \frac{5}{3}x - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}(x-2)(3x+1) = (x-2)(x+\frac{1}{3})
(3) 36x2−16y236x^2 - 16y^2
これは平方の差です。(6x)2−(4y)2=(6x−4y)(6x+4y)(6x)^2 - (4y)^2 = (6x - 4y)(6x + 4y)
さらに、2(3x−2y)2(3x+2y)=4(3x−2y)(3x+2y)2(3x-2y)2(3x+2y) = 4(3x-2y)(3x+2y)
(4) 6x2−5ax+a26x^2 - 5ax + a^2
6x2−5ax+a2=(2x−a)(3x−a)6x^2 - 5ax + a^2 = (2x - a)(3x - a)
(5) (a+b)2−9(a+b)+18(a+b)^2 - 9(a+b) + 18
a+b=Ma+b = Mとおくと、M2−9M+18=(M−3)(M−6)M^2 - 9M + 18 = (M-3)(M-6)
よって、(a+b)2−9(a+b)+18=(a+b−3)(a+b−6)(a+b)^2 - 9(a+b) + 18 = (a+b-3)(a+b-6)
(6) x2(x−1)−4x+4x^2(x-1) - 4x + 4
x2(x−1)−4(x−1)=(x2−4)(x−1)=(x−2)(x+2)(x−1)x^2(x-1) - 4(x - 1) = (x^2 - 4)(x-1) = (x-2)(x+2)(x-1)
(7) x3−x2y−30xy2x^3 - x^2y - 30xy^2
x(x2−xy−30y2)=x(x−6y)(x+5y)x(x^2 - xy - 30y^2) = x(x-6y)(x+5y)
(8) (x−y)2−x+y−2(x-y)^2 - x + y - 2
x−y=Mx-y = Mとおくと、M2−(x−y)−2=M2−M−2=(M−2)(M+1)M^2 - (x-y) - 2 = M^2 - M - 2 = (M-2)(M+1)
よって、(x−y)2−(x−y)−2=(x−y−2)(x−y+1)(x-y)^2 - (x-y) - 2 = (x-y-2)(x-y+1)
(9) p2−q2−r2+2qrp^2 - q^2 - r^2 + 2qr
p2−(q2−2qr+r2)=p2−(q−r)2=(p−(q−r))(p+(q−r))=(p−q+r)(p+q−r)p^2 - (q^2 - 2qr + r^2) = p^2 - (q-r)^2 = (p - (q-r))(p + (q-r)) = (p-q+r)(p+q-r)
(10) (x2−x)2−8x2+8x+12(x^2 - x)^2 - 8x^2 + 8x + 12
(x2−x)2−8(x2−x)+12=(x2−x−2)(x2−x−6)=(x−2)(x+1)(x−3)(x+2)(x^2 - x)^2 - 8(x^2 - x) + 12 = (x^2 - x - 2)(x^2 - x - 6) = (x-2)(x+1)(x-3)(x+2)

3. 最終的な答え

(1) (x+1)(x−4)(x+1)(x-4)
(2) (x−2)(x+13)(x-2)(x+\frac{1}{3})
(3) 4(3x−2y)(3x+2y)4(3x-2y)(3x+2y)
(4) (2x−a)(3x−a)(2x - a)(3x - a)
(5) (a+b−3)(a+b−6)(a+b-3)(a+b-6)
(6) (x−2)(x+2)(x−1)(x-2)(x+2)(x-1)
(7) x(x−6y)(x+5y)x(x-6y)(x+5y)
(8) (x−y−2)(x−y+1)(x-y-2)(x-y+1)
(9) (p−q+r)(p+q−r)(p-q+r)(p+q-r)
(10) (x−2)(x+1)(x−3)(x+2)(x-2)(x+1)(x-3)(x+2)

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