2次関数 $y = -x^2 + 8x + 10$ の $a \le x \le a+3$ における最大値を $M$、最小値を $m$ とする。 (1) $M = 26$ となる $a$ の値の範囲を求め、また $a <$ アのとき、$M = -a^2 +$ ウ $a +$ エオ を求める。 (2) $x = a$ と $x = a+3$ のときの $y$ の値が一致する $a$ を求め、そのときの $m$ を求め、また $a >$ 力/キ のとき、$m = -a^2 +$ サ $a +$ シス を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 + 8x + 10$ の $a \le x \le a+3$ における最大値を $M$、最小値を $m$ とする。

(1) $M = 26$ となる $a$ の値の範囲を求め、また $a <$ アのとき、$M = -a^2 +$ ウ $a +$ エオ を求める。

(2) $x = a$ と $x = a+3$ のときの $y$ の値が一致する $a$ を求め、そのときの $m$ を求め、また $a >$ 力/キ のとき、$m = -a^2 +$ サ $a +$ シス を求める。

2. 解き方の手順

(1) $y = -x^2 + 8x + 10 = -(x^2 - 8x) + 10 = -(x^2 - 8x + 16 - 16) + 10 = -(x - 4)^2 + 16 + 10 = -(x-4)^2 + 26$ と変形できる。

この関数の頂点は $(4, 26)$ である。

$M = 26$ となるのは、区間 $a \le x \le a+3$ が $x = 4$ を含むときなので、$a \le 4 \le a+3$ が成り立つ。

よって、$a \le 4$ かつ $a \ge 1$ より、$1 \le a \le 4$ となる。よって、ア $= 1$, イ $= 4$ である。

$a < 1$ のとき、区間 $a \le x \le a+3$ において、$x = a+3$ で最大値をとる。

$M = -(a+3)^2 + 8(a+3) + 10 = -(a^2 + 6a + 9) + 8a + 24 + 10 = -a^2 - 6a - 9 + 8a + 34 = -a^2 + 2a + 25$

よって、ウ $= 2$, エオ $= 25$ である。

(2) $x = a$ のとき、$y = -a^2 + 8a + 10$

$x = a+3$ のとき、$y = -(a+3)^2 + 8(a+3) + 10 = -a^2 - 6a - 9 + 8a + 24 + 10 = -a^2 + 2a + 25$

$-a^2 + 8a + 10 = -a^2 + 2a + 25$

$6a = 15$

$a = \frac{15}{6} = \frac{5}{2}$

よって、力 $= 5$, キ $= 2$ である。

$a = \frac{5}{2}$ のとき、区間は $\frac{5}{2} \le x \le \frac{11}{2}$ となり、軸 $x = 4$ を含む。よって、最小値は $x = \frac{5}{2}$ または $x = \frac{11}{2}$ でとる。

$y(\frac{5}{2}) = -(\frac{5}{2})^2 + 8(\frac{5}{2}) + 10 = -\frac{25}{4} + 20 + 10 = -\frac{25}{4} + 30 = \frac{-25 + 120}{4} = \frac{95}{4}$

$m = \frac{95}{4}$ よって、クケ $= 95$, コ $= 4$ である。

$a > \frac{5}{2}$ のとき、最小値は $x = a+3$ でとる。

$m = -(a+3)^2 + 8(a+3) + 10 = -a^2 + 2a + 25$

よって、サ $= 2$, シス $= 25$ である。

3. 最終的な答え

(1) ア $= 1$, イ $= 4$, ウ $= 2$, エオ $= 25$

(2) 力 $= 5$, キ $= 2$, クケ $= 95$, コ $= 4$, サ $= 2$, シス $= 25$