問題9: $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲で、次の方程式・不等式を解け。 (1) $2\cos^2\theta + 5\sin\theta = 4$ (2) $2\sin^2\theta + 3\cos\theta < 0$ 問題10: $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$y = \sin^2\theta + \cos\theta - 1$ の最大値と最小値を求めよ。また、そのときの $\theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

問題9: $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲で、次の方程式・不等式を解け。

(1) $2\cos^2\theta + 5\sin\theta = 4$

(2) $2\sin^2\theta + 3\cos\theta < 0$

問題10: $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$y = \sin^2\theta + \cos\theta - 1$ の最大値と最小値を求めよ。また、そのときの $\theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

問題9 (1)

$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ を用いて $\cos^2\theta$ を $\sin\theta$ に変換する。

$2(1-\sin^2\theta) + 5\sin\theta = 4$

$2 - 2\sin^2\theta + 5\sin\theta = 4$

$-2\sin^2\theta + 5\sin\theta - 2 = 0$

$2\sin^2\theta - 5\sin\theta + 2 = 0$

$(2\sin\theta - 1)(\sin\theta - 2) = 0$

$\sin\theta = \frac{1}{2}$ または $\sin\theta = 2$

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲で、$\sin\theta = 2$ となる $\theta$ は存在しない。

$\sin\theta = \frac{1}{2}$ となる $\theta$ は $\theta = 30^\circ, 150^\circ$

問題9 (2)

$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ を用いて $\sin^2\theta$ を $\cos\theta$ に変換する。

$2(1-\cos^2\theta) + 3\cos\theta < 0$

$2 - 2\cos^2\theta + 3\cos\theta < 0$

$-2\cos^2\theta + 3\cos\theta + 2 < 0$

$2\cos^2\theta - 3\cos\theta - 2 > 0$

$(2\cos\theta + 1)(\cos\theta - 2) > 0$

$\cos\theta < -\frac{1}{2}$ または $\cos\theta > 2$

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲で、$\cos\theta > 2$ となる $\theta$ は存在しない。

$\cos\theta < -\frac{1}{2}$ となる $\theta$ は $120^\circ < \theta \le 180^\circ$

問題10

$y = \sin^2\theta + \cos\theta - 1$

$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ より

$y = (1 - \cos^2\theta) + \cos\theta - 1$

$y = -\cos^2\theta + \cos\theta$

$t = \cos\theta$ とおくと、 $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ より $-1 \le t \le 1$

$y = -t^2 + t$

$y = -(t^2 - t)$

$y = -(t^2 - t + \frac{1}{4}) + \frac{1}{4}$

$y = -(t - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4}$

$y$ は $t = \frac{1}{2}$ のとき最大値 $\frac{1}{4}$ をとる。

$t = \cos\theta = \frac{1}{2}$ より $\theta = 60^\circ$

$y$ は $t = -1$ のとき最小値 $-2$ をとる。

$t = \cos\theta = -1$ より $\theta = 180^\circ$

3. 最終的な答え

問題9 (1): $\theta = 30^\circ, 150^\circ$

問題9 (2): $120^\circ < \theta \le 180^\circ$

問題10: 最大値 $\frac{1}{4}$ ($\theta = 60^\circ$ のとき)、最小値 $-2$ ($\theta = 180^\circ$ のとき)