すべての実数 $x$ について、不等式 $ax^2 - 2ax + 2a > -8x + 2$ が成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

すべての実数 $x$ について、不等式 $ax^2 - 2ax + 2a > -8x + 2$ が成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、不等式を整理します。

$ax^2 - 2ax + 2a > -8x + 2$

$ax^2 - 2ax + 8x + 2a - 2 > 0$

$ax^2 + (-2a + 8)x + (2a - 2) > 0$

すべての実数 $x$ について、この不等式が成り立つためには、以下の2つの条件が必要です。

(i) $a > 0$

(ii) 判別式 $D < 0$

判別式 $D$ を計算します。

$D = (-2a + 8)^2 - 4a(2a - 2)$

$D = 4a^2 - 32a + 64 - 8a^2 + 8a$

$D = -4a^2 - 24a + 64$

$D < 0$ なので、

$-4a^2 - 24a + 64 < 0$

$4a^2 + 24a - 64 > 0$

$a^2 + 6a - 16 > 0$

$(a + 8)(a - 2) > 0$

したがって、$a < -8$ または $a > 2$

条件 (i) $a > 0$ と $a < -8$ または $a > 2$ を満たす $a$ の範囲は、$a > 2$ です。

3. 最終的な答え

$a > 2$