与えられた4x4行列の行列式を計算します。行列は以下の通りです。 $ \begin{vmatrix} 4 & 0 & 5 & 1 \\ 0 & -2 & 2 & 0 \\ -3 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & 4 & 0 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算します。行列は以下の通りです。

$$

\begin{vmatrix}

4 & 0 & 5 & 1 \\

0 & -2 & 2 & 0 \\

-3 & 0 & 1 & -1 \\

0 & 3 & 4 & 0

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

まず、2列目で余因子展開します。これにより、次のようになります。

$$

\begin{vmatrix}

4 & 0 & 5 & 1 \\

0 & -2 & 2 & 0 \\

-3 & 0 & 1 & -1 \\

0 & 3 & 4 & 0

\end{vmatrix}

= 0 \cdot C_{12} + (-2) \cdot C_{22} + 0 \cdot C_{32} + 3 \cdot C_{42}

= -2 \cdot C_{22} + 3 \cdot C_{42}

$$

ここで、$C_{ij}$ は (i, j) 成分の余因子です。

次に、$C_{22}$ と $C_{42}$ を計算します。

$C_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 4 & 5 & 1 \\ -3 & 1 & -1 \\ 0 & 4 & 0 \end{vmatrix}$

この3x3行列式を3行目で余因子展開します。

$C_{22} = 4 \cdot (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ -3 & -1 \end{vmatrix} = -4 (4(-1) - 1(-3)) = -4(-4+3) = -4(-1) = 4$

$C_{42} = (-1)^{4+2} \begin{vmatrix} 4 & 5 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -3 & 1 & -1 \end{vmatrix}$

この3x3行列式を2行目で余因子展開します。

$C_{42} = 2 \cdot (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ -3 & -1 \end{vmatrix} = 2(4(-1) - 1(-3)) = 2(-4+3) = 2(-1) = -2$

したがって、元の行列式は次のようになります。

$-2 \cdot C_{22} + 3 \cdot C_{42} = -2(4) + 3(-2) = -8 - 6 = -14$

3. 最終的な答え

-14