$n$ 次の行列 $A$ がべき零行列（ある自然数 $m$ に対して $A^m = 0$）であるとき、以下の問いに答える。 (1) $A$ が正則でないことを示す。 (2) $E+A$ が正則であることを示す。 (3) $E+A$ の逆行列を求める。

1. 問題の内容

$n$ 次の行列 $A$ がべき零行列（ある自然数 $m$ に対して $A^m = 0$）であるとき、以下の問いに答える。

(1) $A$ が正則でないことを示す。

(2) $E+A$ が正則であることを示す。

(3) $E+A$ の逆行列を求める。

2. 解き方の手順

(1) $A$ が正則であると仮定すると、逆行列 $A^{-1}$ が存在する。

$A^m = 0$ の両辺に $(A^{-1})^m$ をかけると、

$A^m(A^{-1})^m = 0(A^{-1})^m$

$(AA^{-1})^m = 0$

$E^m = 0$

$E = 0$

これは矛盾であるので、$A$ は正則ではない。

(2) $A^m = 0$ であるとき、

$(E+A)(E - A + A^2 - \dots + (-1)^{m-1} A^{m-1}) = E - A + A^2 - \dots + (-1)^{m-1} A^{m-1} + A - A^2 + \dots + (-1)^{m-2} A^{m-1} + (-1)^{m-1} A^m$

$= E + (-1)^{m-1} A^m = E$ (∵ $A^m = 0$)

したがって、$E+A$ の逆行列は $E - A + A^2 - \dots + (-1)^{m-1} A^{m-1}$ であり、$E+A$ は正則である。

(3) (2)より、$E+A$ の逆行列は $E - A + A^2 - \dots + (-1)^{m-1} A^{m-1}$ である。

すなわち、

$(E+A)^{-1} = E - A + A^2 - \dots + (-1)^{m-1} A^{m-1}$

3. 最終的な答え

(1) $A$ は正則ではない。

(2) $E+A$ は正則である。

(3) $(E+A)^{-1} = E - A + A^2 - \dots + (-1)^{m-1} A^{m-1}$