実数 $a, b$ に対して、行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & a & -a \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$、ベクトル $\mathbf{b} = \begin{bmatrix} b \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$、ベクトル $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}$ が与えられている。 (1) 行列 $A$ の階数 rank $A$ を求める。 (2) $A$ が正則であるとき、逆行列 $A^{-1}$ を求める。 (3) 連立1次方程式 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ が唯一つでない解を持つとき、$b$ の値を求め、そのときの $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ の解を求める。

はい、承知いたしました。それでは、問題を解いていきます。

1. 問題の内容

実数 $a, b$ に対して、行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & a & -a \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$、ベクトル $\mathbf{b} = \begin{bmatrix} b \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$、ベクトル $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}$ が与えられている。

(1) 行列 $A$ の階数 rank $A$ を求める。

(2) $A$ が正則であるとき、逆行列 $A^{-1}$ を求める。

(3) 連立1次方程式 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ が唯一つでない解を持つとき、$b$ の値を求め、そのときの $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ の解を求める。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A$ の階数 rank $A$ を求める。

$A$ を簡約化する。

$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & a & -a \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

2行目に1行目を足し、3行目に1行目を足すと

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & a+1 & 1-a \\ 0 & 2 & 2 \end{bmatrix}$

3行目を2で割ると

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & a+1 & 1-a \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

2行目と3行目を入れ替えると

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & a+1 & 1-a \end{bmatrix}$

3行目から2行目の $(a+1)$ 倍を引くと

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1-a - (a+1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -2a \end{bmatrix}$

$a \neq 0$ のとき、rank $A = 3$。

$a = 0$ のとき、rank $A = 2$。

(2) $A$ が正則であるとき、逆行列 $A^{-1}$ を求める。

$A$ が正則であるための必要十分条件は $|A| \neq 0$ である。

$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & a & -a \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1(a+a) - 1(-1-a) + 1(-1+a) = 2a + 1 + a -1 + a = 4a$

したがって、$a \neq 0$ のとき、$A$ は正則である。

$A^{-1}$ を求める。

$(A | E) = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & a & -a & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

2行目に1行目を足し、3行目に1行目を足すと

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & a+1 & 1-a & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

3行目を2で割ると

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & a+1 & 1-a & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1/2 & 0 & 1/2 \end{bmatrix}$

2行目と3行目を入れ替えると

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1/2 & 0 & 1/2 \\ 0 & a+1 & 1-a & 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

3行目から2行目の $(a+1)$ 倍を引くと

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1/2 & 0 & 1/2 \\ 0 & 0 & 1-a-(a+1) & 1 - (a+1)/2 & 1 & -(a+1)/2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1/2 & 0 & 1/2 \\ 0 & 0 & -2a & (1-a)/2 & 1 & -(a+1)/2 \end{bmatrix}$

3行目を $(-2a)$ で割ると

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1/2 & 0 & 1/2 \\ 0 & 0 & 1 & (a-1)/(4a) & -1/(2a) & (a+1)/(4a) \end{bmatrix}$

2行目から3行目を引くと

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & (2a+1-a)/(4a) & 1/(2a) & (2a-a-1)/(4a) \\ 0 & 0 & 1 & (a-1)/(4a) & -1/(2a) & (a+1)/(4a) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & (a+1)/(4a) & 1/(2a) & (a-1)/(4a) \\ 0 & 0 & 1 & (a-1)/(4a) & -1/(2a) & (a+1)/(4a) \end{bmatrix}$

1行目から2行目と3行目を引くと

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 - (a+1)/(4a) - (a-1)/(4a) & -1/(2a) + 1/(2a) & - (a-1)/(4a) - (a+1)/(4a) \\ 0 & 1 & 0 & (a+1)/(4a) & 1/(2a) & (a-1)/(4a) \\ 0 & 0 & 1 & (a-1)/(4a) & -1/(2a) & (a+1)/(4a) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & (4a - a - 1 - a + 1)/(4a) & 0 & (-a+1-a-1)/(4a) \\ 0 & 1 & 0 & (a+1)/(4a) & 1/(2a) & (a-1)/(4a) \\ 0 & 0 & 1 & (a-1)/(4a) & -1/(2a) & (a+1)/(4a) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & (2a)/(4a) & 0 & (-2a)/(4a) \\ 0 & 1 & 0 & (a+1)/(4a) & 1/(2a) & (a-1)/(4a) \\ 0 & 0 & 1 & (a-1)/(4a) & -1/(2a) & (a+1)/(4a) \end{bmatrix}$

$A^{-1} = \begin{bmatrix} 1/2 & 0 & -1/2 \\ (a+1)/(4a) & 1/(2a) & (a-1)/(4a) \\ (a-1)/(4a) & -1/(2a) & (a+1)/(4a) \end{bmatrix} = \frac{1}{4a} \begin{bmatrix} 2a & 0 & -2a \\ a+1 & 2 & a-1 \\ a-1 & -2 & a+1 \end{bmatrix}$

(3) 連立1次方程式 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ が唯一つでない解を持つとき、$b$ の値を求め、そのときの $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ の解を求める。

$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ が唯一でない解を持つとき、$a=0$ である。

このとき、$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$、$\mathbf{b} = \begin{bmatrix} b \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ である。

拡大行列を考えると

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & b \\ -1 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

1行目に2行目を足し、3行目に2行目を足すと

$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & b+1 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

1行目から3行目を引くと

$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & b \\ -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

この連立方程式が解を持つためには $b = 0$ でなければならない。

よって、$b=0$ である。

$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ は

$-x_1 = 1$, $x_2 + x_3 = 1$ を満たす。

$x_1 = -1$, $x_2 = 1 - x_3$

$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 - x_3 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_3 \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $a \neq 0$ のとき、rank $A = 3$。$a = 0$ のとき、rank $A = 2$。

(2) $a \neq 0$ のとき、$A^{-1} = \frac{1}{4a} \begin{bmatrix} 2a & 0 & -2a \\ a+1 & 2 & a-1 \\ a-1 & -2 & a+1 \end{bmatrix}$

(3) $b = 0$ のとき、$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_3 \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$ （$x_3$ は任意の実数）