与えられた行列 A4, A5, A6, A7 の行列式を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた行列 A4, A5, A6, A7 の行列式を計算する問題です。

2. 解き方の手順

(4) A4 の行列式を計算します。

$A_4 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 2 & 0 \end{bmatrix}$

まず、3行目を使って1列目を展開します。

$det(A_4) = 0 * C_{31} + 1 * C_{32} + 1 * C_{33} + 0 * C_{34}$

$det(A_4) = (-1)^{(3+2)} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} + (-1)^{(3+3)} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}$

$det(A_4) = -\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}$

$-\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = - [1(1*0 - 0*2) - 2(2*0 - 0*1) + 1(2*2 - 1*1)] = -(0 - 0 + 3) = -3$

$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 1(1*0 - 0*2) - 0(2*0 - 0*1) + 1(2*2 - 1*1) = (0 - 0 + 3) = 3$

$det(A_4) = -3 + 3 = 0$

(5) A5 の行列式を計算します。

$A_5 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$

これは正方行列ではないため行列式は定義されません。

(6) A6 の行列式を計算します。

$A_6 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & -5 & -1 \end{bmatrix}$

これも正方行列ではないため行列式は定義されません。

(7) A7 の行列式を計算します。

$A_7 = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 & 0 \end{bmatrix}$

これも正方行列ではないため行列式は定義されません。

しかしA4 は3 x 3 行列のようなので再計算します。

$A_4 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

$det(A_4) = 1(1*1 - 1*1) - 0(2*1 - 0*1) + 2(2*1 - 1*0) = 1(0) - 0(2) + 2(2) = 0 - 0 + 4 = 4$

3. 最終的な答え

A4の行列式は4です。A5, A6, A7 は正方行列ではないため、行列式は定義されません。