ベクトル $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$, $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$, $\mathbf{c} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix}$ が一次独立か一次従属かを調べ、一次従属ならば $\mathbf{a}$ を他のベクトルの一次結合で表す。

1. 問題の内容

ベクトル $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$, $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$, $\mathbf{c} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix}$ が一次独立か一次従属かを調べ、一次従属ならば $\mathbf{a}$ を他のベクトルの一次結合で表す。

2. 解き方の手順

一次従属かどうかを調べるために、$k_1\mathbf{a} + k_2\mathbf{b} + k_3\mathbf{c} = \mathbf{0}$ となる $k_1, k_2, k_3$ がすべて $0$ であるか否かを調べる。

$k_1\mathbf{a} + k_2\mathbf{b} + k_3\mathbf{c} = \mathbf{0}$ を成分で書くと、

$k_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + k_3 \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

これは以下の連立一次方程式と等価である。

\begin{align*}

k_1 + 3k_2 &= 0 \\

2k_2 - 4k_3 &= 0 \\

-2k_1 - k_2 + 3k_3 &= 0

\end{align*}

第1式より、$k_1 = -3k_2$。第2式より、$k_2 = 2k_3$。

これらを第3式に代入すると、

$-2(-3k_2) - k_2 + 3k_3 = 0$

$6k_2 - k_2 + 3k_3 = 0$

$5k_2 + 3k_3 = 0$

$5(2k_3) + 3k_3 = 0$

$10k_3 + 3k_3 = 0$

$13k_3 = 0$

よって、$k_3 = 0$。

$k_2 = 2k_3 = 2(0) = 0$

$k_1 = -3k_2 = -3(0) = 0$

$k_1 = k_2 = k_3 = 0$ なので、$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ は一次独立である。

3. 最終的な答え

$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ は一次独立である。