与えられた漸化式によって定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。3つの異なる漸化式に対して解く必要があります。

1. 問題の内容

与えられた漸化式によって定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。3つの異なる漸化式に対して解く必要があります。

2. 解き方の手順

(1) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = a_n + 2^{n-1}$

この漸化式は階差数列の形をしています。$a_{n+1} - a_n = 2^{n-1}$ より、数列 $\{a_n\}$ の階差数列が $\{2^{n-1}\}$ であることがわかります。$n \geq 2$ のとき、

$$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} = 2 + \sum_{k=0}^{n-2} 2^k = 2 + \frac{1 - 2^{n-1}}{1 - 2} = 2 + 2^{n-1} - 1 = 2^{n-1} + 1$$

$n=1$ のとき、$a_1 = 2^{1-1} + 1 = 1 + 1 = 2$ となり、与えられた条件と一致します。したがって、$n \geq 1$ で $a_n = 2^{n-1} + 1$ が成り立ちます。

(2) $a_1 = 1$, $a_{n+1} + a_n = 3$

この漸化式から、$a_{n+1} = 3 - a_n$ が得られます。

$a_2 = 3 - a_1 = 3 - 1 = 2$

$a_3 = 3 - a_2 = 3 - 2 = 1$

$a_4 = 3 - a_3 = 3 - 1 = 2$

このように、$a_n$ は 1, 2, 1, 2, ... と交互に現れるため、

$n$ が奇数のとき $a_n = 1$、$n$ が偶数のとき $a_n = 2$ となります。

したがって、$a_n = \frac{3 + (-1)^{n+1}}{2}$ と表すことができます。

(3) $a_1 = 2$, $2a_{n+1} = a_n + 1$

この漸化式を $a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + \frac{1}{2}$ と変形します。

特性方程式 $x = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$ を解くと、$\frac{1}{2}x = \frac{1}{2}$ より $x = 1$ となります。

したがって、$a_{n+1} - 1 = \frac{1}{2}(a_n - 1)$ と変形できます。

これは、数列 $\{a_n - 1\}$ が初項 $a_1 - 1 = 2 - 1 = 1$、公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列であることを示しています。

よって、$a_n - 1 = 1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ となり、$a_n = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} + 1$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 2^{n-1} + 1$

(2) $a_n = \frac{3 + (-1)^{n+1}}{2}$

(3) $a_n = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} + 1$