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問題1は4つの小問から構成されています。 1. 位置ベクトルに関する問題で、$\vec{p} = \frac{4}{7}\vec{a} + \frac{3}{7}\vec{b}$ のとき、$AP$ の長さが $BP$ の長さの何倍になるかを求める。

代数学ベクトル行列行列式一次結合逆行列連立一次方程式余因子行列
2025/7/26

1. 問題の内容

問題1は4つの小問から構成されています。

1. 位置ベクトルに関する問題で、$\vec{p} = \frac{4}{7}\vec{a} + \frac{3}{7}\vec{b}$ のとき、$AP$ の長さが $BP$ の長さの何倍になるかを求める。

2. ベクトル $\begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{bmatrix}$ が $\vec{a_1}=\begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\vec{a_2}=\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ t \end{bmatrix}$ の一次結合で表されるとき、$t$ の値を求める。

3. 3次正方行列 $A = [\vec{a_1}\ \vec{a_2}\ \vec{a_3}]$ が正則であるとき、行列式 $|\vec{a_3} + 2\vec{a_2}\ 2\vec{a_2} - \vec{a_1}\ -5\vec{a_1}|$ が $|A|$ の何倍になるかを求める。

4. 行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$ に対して、$A$ の余因子行列の (1,2) 成分 $\tilde{a}_{12}$ が $A$ の (1,2) 小行列の行列式の何倍になるかを求める。

問題2は行列 A,B,C,DA, B, C, D が与えられたとき、(i) D2+BCD^2 + BC, (ii) CD+DtBCD + D^tB, (iii) CBA+ACBA + A, (iv) tA(tB+C)B^tA(^tB+C)B のうち計算可能なものの計算結果を求める。
問題3は行列 A=[111−1a−a−111]A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & a & -a \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}, b⃗=[b10]\vec{b} = \begin{bmatrix} b \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, x⃗=[x1x2x3]\vec{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} が与えられたとき、

1. 行列 $A$ の階数 $\text{rank}\ A$ を求める。

2. $A$ が正則であるとき、逆行列 $A^{-1}$ を求める。

3. 連立一次方程式 $A\vec{x} = \vec{b}$ が唯一つでない解を持つとき、$b$ の値を求め、このとき $A\vec{x} = \vec{b}$ を解く。

問題4は

1. 行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & a \\ b & 0 \end{bmatrix}$ の行列式 $|A|$ を求め、また $A$ が正則であるとき、逆行列 $A^{-1}$ を求める。

2. 次の行列式を計算する。(1) $\begin{vmatrix} 1 & 1 & a \\ 0 & b & 0 \\ c & 0 & 0 \end{vmatrix}$, (2) $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & a \\ 0 & 0 & b & 0 \\ 0 & c & 0 & 0 \\ d & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}$

3. 行列 $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & a \\ 0 & 0 & b & 0 \\ 0 & c & 0 & 0 \\ d & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ が正則であるとき、逆行列を求める。

2. 解き方の手順

問題1

1. $\vec{p} = \frac{4}{7}\vec{a} + \frac{3}{7}\vec{b}$ より、$\vec{p} - \vec{a} = \frac{3}{7}(\vec{b} - \vec{a})$。よって、$AP = |\vec{p} - \vec{a}| = \frac{3}{7} |\vec{b} - \vec{a}|$。また、$\vec{p} - \vec{b} = \frac{4}{7}(\vec{a} - \vec{b})$ より、$BP = |\vec{p} - \vec{b}| = \frac{4}{7} |\vec{a} - \vec{b}| = \frac{4}{7} |\vec{b} - \vec{a}|$。したがって、$AP = \frac{3}{4} BP$。

2. $\begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{bmatrix} = s\begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} + r\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ t \end{bmatrix}$ とおく。

第1成分より、2=−s+2r2 = -s + 2r。第2成分より、4=−s+r4 = -s + r。この2式から、2r−r=2−42r - r = 2 - 4 より、r=−2r = -2。よって、s=−2−4=−6s = -2 - 4 = -6。
第3成分より、6=s+rt=−6−2t6 = s + rt = -6 - 2t。したがって、2t=−122t = -12 より、t=−6t = -6。

3. $|\vec{a_3} + 2\vec{a_2}\ 2\vec{a_2} - \vec{a_1}\ -5\vec{a_1}| = |\vec{a_3}\ 2\vec{a_2}\ -5\vec{a_1}| = -10|\vec{a_3}\ \vec{a_2}\ \vec{a_1}| = 10|\vec{a_1}\ \vec{a_2}\ \vec{a_3}| = 10|A|$。

4. $A = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$ の余因子行列の (1,2) 成分 $\tilde{a}_{12}$ は $(-1)^{1+2}M_{12}$ であり、$M_{12} = 2$ は (1,2) 小行列の行列式。したがって、$\tilde{a}_{12} = -2$ であり、$\tilde{a}_{12} = -1 \times M_{12}$。

問題2
(i) D2=[1001−121−11][1001−121−11]=[10021−110−1]D^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix}
BC=[0−312−21−10−6][3−11−1110−61]=[3−9−28−121−337−7]BC = \begin{bmatrix} 0 & -3 & 1 \\ 2 & -2 & 1 \\ -1 & 0 & -6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & -6 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -9 & -2 \\ 8 & -12 & 1 \\ -3 & 37 & -7 \end{bmatrix}
D2+BC=[4−9−210−110−237−8]D^2 + BC = \begin{bmatrix} 4 & -9 & -2 \\ 10 & -11 & 0 \\ -2 & 37 & -8 \end{bmatrix}
(ii) CD=[3−11−1110−61][1001−121−11]=[30−11−23−55−11]CD = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & -6 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 & -1 \\ 1 & -2 & 3 \\ -5 & 5 & -11 \end{bmatrix}
tB=[02−1−3−2011−6]^tB = \begin{bmatrix} 0 & 2 & -1 \\ -3 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & -6 \end{bmatrix}
DtB=[1001−121−11][02−1−3−2011−6]=[02−156−1345−7]D^tB = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 2 & -1 \\ -3 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & -6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 2 & -1 \\ 5 & 6 & -13 \\ 4 & 5 & -7 \end{bmatrix}
CD+DtB=[32−264−10−110−18]CD+D^tB = \begin{bmatrix} 3 & 2 & -2 \\ 6 & 4 & -10 \\ -1 & 10 & -18 \end{bmatrix}
(iii) CBA=[3−11−1110−61][0−312−21−10−6][220−10−1−1−11]=[−3−7−211−4−1312−7][220−10−1−1−11]=[0−45−3−6−5−42−34−19]CBA = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & -6 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -3 & 1 \\ 2 & -2 & 1 \\ -1 & 0 & -6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & -7 & -2 \\ 1 & 1 & -4 \\ -13 & 12 & -7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -4 & 5 \\ -3 & -6 & -5 \\ -42 & -34 & -19 \end{bmatrix}
CBA+A=[2−25−3−6−5−42−34−19]CBA + A = \begin{bmatrix} 2 & -2 & 5 \\ -3 & -6 & -5 \\ -42 & -34 & -19 \end{bmatrix}
(iv) tA=[20−12200−1−1]^tA = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \end{bmatrix}, tB=[02−1−3−2011−6]^tB = \begin{bmatrix} 0 & 2 & -1 \\ -3 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & -6 \end{bmatrix}, tB+C=[310−4−1110−5]^tB+C = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 0 \\ -4 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -5 \end{bmatrix}
tA(tB+C)=[20−12200−1−1][310−4−1110−5]=[525−202314]^tA(^tB+C) = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 1 & 0 \\ -4 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 2 & 5 \\ -2 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & 4 \end{bmatrix}
tA(tB+C)B=[525−202314][0−312−21−10−6]=[−1−19−21−26−14−2−11−21]^tA(^tB+C)B = \begin{bmatrix} 5 & 2 & 5 \\ -2 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -3 & 1 \\ 2 & -2 & 1 \\ -1 & 0 & -6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -19 & -21 \\ -2 & 6 & -14 \\ -2 & -11 & -21 \end{bmatrix}
問題3

1. $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & a & -a \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

AA の行列式は ∣A∣=1(a+a)−1(−a−a)+1(−1+a)=2a+2a+a−1=5a−1|A| = 1(a+a) - 1(-a-a) + 1(-1+a) = 2a+2a+a-1 = 5a-1
AA の階数は、a≠1/5a \ne 1/5 のとき3、a=1/5a = 1/5 のとき2。

2. $A^{-1} = \frac{1}{5a-1} \begin{bmatrix} 0 & 0 & a+1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ (計算間違い)

問題4

1. $|A| = -ab$

A−1=1−ab[0−a−b1]A^{-1} = \frac{1}{-ab} \begin{bmatrix} 0 & -a \\ -b & 1 \end{bmatrix}

2. (1) $\begin{vmatrix} 1 & 1 & a \\ 0 & b & 0 \\ c & 0 & 0 \end{vmatrix} = -bc$

(2) ∣111a00b00c00d000∣=−bcd\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & a \\ 0 & 0 & b & 0 \\ 0 & c & 0 & 0 \\ d & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} = -bcd

3. 最終的な答え

問題1

1. $\frac{3}{4}$

2. $-6$

3. $10$

4. $-1$

問題2
(i) [4−9−210−110−237−8]\begin{bmatrix} 4 & -9 & -2 \\ 10 & -11 & 0 \\ -2 & 37 & -8 \end{bmatrix}
(ii) [32−264−10−110−18]\begin{bmatrix} 3 & 2 & -2 \\ 6 & 4 & -10 \\ -1 & 10 & -18 \end{bmatrix}
(iii) [2−25−3−6−5−42−34−19]\begin{bmatrix} 2 & -2 & 5 \\ -3 & -6 & -5 \\ -42 & -34 & -19 \end{bmatrix}
(iv) [−1−19−21−26−14−2−11−21]\begin{bmatrix} -1 & -19 & -21 \\ -2 & 6 & -14 \\ -2 & -11 & -21 \end{bmatrix}
問題3

1. $a \ne 1/5$ のとき3、$a = 1/5$ のとき2

2. -

3. -

問題4

1. $|A| = -ab$

A−1=1−ab[0−a−b1]A^{-1} = \frac{1}{-ab} \begin{bmatrix} 0 & -a \\ -b & 1 \end{bmatrix}

2. (1) $-bc$

(2) −bcd-bcd

3. -

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