連立方程式を行列を用いて解く問題と、ある2つの点をそれぞれ別の2つの点に移す行列が存在するかどうかを調べる問題の2つがあります。

1. 問題の内容

連立方程式を行列を用いて解く問題と、ある2つの点をそれぞれ別の2つの点に移す行列が存在するかどうかを調べる問題の2つがあります。

2. 解き方の手順

**連立方程式の解法**

与えられた連立方程式は以下の通りです。

$x + y = 4$

$x - y = 2$

この連立方程式を行列で表現すると、以下のようになります。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$を求めるためには、$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$ の逆行列を左から掛けます。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$の逆行列は以下の通りです。

$\frac{1}{(1)(-1) - (1)(1)} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} = -\frac{1}{2} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$

よって、

$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \cdot 4 + \frac{1}{2} \cdot 2 \\ \frac{1}{2} \cdot 4 - \frac{1}{2} \cdot 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2+1 \\ 2-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}$

したがって、$x=3, y=1$

**行列Aの存在判定**

点 $\begin{bmatrix} -4 \\ 5 \end{bmatrix}$ を点 $\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ に移し、かつ点 $\begin{bmatrix} 5 \\ 2 \end{bmatrix}$ を点 $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ に移すような行列 $A = \begin{bmatrix} x & y \\ z & w \end{bmatrix}$ が存在するかどうかを調べます。

与えられた条件は以下の式で表せます。

$\begin{bmatrix} x & y \\ z & w \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -4 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} x & y \\ z & w \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$

これらの式から、以下の連立方程式が得られます。

$-4x + 5y = 1$ (1)

$-4z + 5w = -1$ (1')

$5x + 2y = 2$ (2)

$5z + 2w = 3$ (2')

(1)式の5倍と(2)式の-4倍を足すと

$-20x + 25y + (-20x -8y) = 5-8$

$17y= -3$

$y= -3/17$

(1)に代入して

$-4x+5(-3/17)=1$

$-4x=1+15/17=32/17$

$x = -8/17$

(1')式の5倍と(2')式の-4倍を足すと

$-20z + 25w + (-20z -8w) = -5-12$

$17w= -17$

$w= -1$

(1')に代入して

$-4z+5(-1)=-1$

$-4z=-1+5=4$

$z = -1$

したがって、行列Aは

$A = \begin{bmatrix} -8/17 & -3/17 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

連立方程式の解: $x=3, y=1$

行列A: $A = \begin{bmatrix} -8/17 & -3/17 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}$