与えられた行列 $A_4, A_5, A_6, A_7$ を簡約化する。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A_4, A_5, A_6, A_7$ を簡約化する。

2. 解き方の手順

簡約化とは、行列の行基本変形を繰り返して、階段行列に変形することです。

各行列について、行基本変形を行っていきます。

(4) $A_4 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

まず2行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -3 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

次に3行目から2行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -3 & -2 \\ 0 & 0 & 4 & 2 \end{bmatrix}$

最後に、3行目を4で割ります。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -3 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 1/2 \end{bmatrix}$

(5) $A_5 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$

まず1行目と3行目を入れ替えます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}$

次に2行目と3行目を入れ替えます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{bmatrix}$

最後に2行目を2で割ります。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

(6) $A_6 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & -5 & -1 \end{bmatrix}$

まず1行目と2行目を入れ替えます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & -2 & -5 & -1 \end{bmatrix}$

次に3行目から1行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & -2 & -6 & -2 \end{bmatrix}$

最後に3行目に2行目の2倍を加えます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

(7) $A_7 = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 & 0 \end{bmatrix}$

まず2行目から1行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & -2 & -1 \\ 1 & 2 & -1 & 0 \end{bmatrix}$

次に3行目から1行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & -4 & -2 \end{bmatrix}$

最後に3行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

(4) $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -3 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 1/2 \end{bmatrix}$

(5) $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

(6) $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

(7) $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$