等差数列$\{a_n\}$があり、$a_1 + a_2 + a_3 = 15$、$a_4 + a_5 = 20$である。数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とすると、$S_n = n^2 + 3n$ $(n=1, 2, 3, \dots)$である。 (1) 数列$\{a_n\}$の初項と公差を求めよ。 (2) $b_1$を求めよ。また、$b_n$を$n$を用いて表せ。 (3) $c_n = nb_n$ $(n=1, 2, 3, \dots)$とする。$\sum_{k=1}^n \frac{1}{c_k}$を$n$を用いて表せ。また、$\sum_{k=1}^n \frac{a_k}{(c_k)^2}$を$n$を用いて表せ。

1. 問題の内容

等差数列$\{a_n\}$があり、$a_1 + a_2 + a_3 = 15$、$a_4 + a_5 = 20$である。数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とすると、$S_n = n^2 + 3n$ $(n=1, 2, 3, \dots)$である。

(1) 数列$\{a_n\}$の初項と公差を求めよ。

(2) $b_1$を求めよ。また、$b_n$を$n$を用いて表せ。

(3) $c_n = nb_n$ $(n=1, 2, 3, \dots)$とする。$\sum_{k=1}^n \frac{1}{c_k}$を$n$を用いて表せ。また、$\sum_{k=1}^n \frac{a_k}{(c_k)^2}$を$n$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) 数列$\{a_n\}$について、$a_1 + a_2 + a_3 = 15$、$a_4 + a_5 = 20$より、

$a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) = 3a_1 + 3d = 15$

$(a_1 + 3d) + (a_1 + 4d) = 2a_1 + 7d = 20$

これらを解くと、$a_1 = 3, d = 2$となる。

(2) $S_n = n^2 + 3n$より、$b_1 = S_1 = 1^2 + 3(1) = 4$

$n \ge 2$のとき、$b_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 + 3n) - ((n-1)^2 + 3(n-1)) = (n^2 + 3n) - (n^2 - 2n + 1 + 3n - 3) = 2n + 2$

これは$n = 1$のときも成り立つので、$b_n = 2n + 2$

(3) $c_n = nb_n = n(2n + 2) = 2n(n+1)$

$\sum_{k=1}^n \frac{1}{c_k} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{2k(k+1)} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) = \frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{n+1}\right) = \frac{n}{2(n+1)}$

$a_k = a_1 + (k-1)d = 3 + (k-1)2 = 2k + 1$

$\sum_{k=1}^n \frac{a_k}{(c_k)^2} = \sum_{k=1}^n \frac{2k+1}{(2k(k+1))^2} = \sum_{k=1}^n \frac{2k+1}{4k^2(k+1)^2} = \sum_{k=1}^n \frac{(k+1)^2 - k^2}{4k^2(k+1)^2} = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{k^2} - \frac{1}{(k+1)^2}\right) = \frac{1}{4} \left(1 - \frac{1}{(n+1)^2}\right) = \frac{n(n+2)}{4(n+1)^2}$

3. 最終的な答え

(1) 初項: 3, 公差: 2

(2) $b_1 = 4$, $b_n = 2n + 2$

(3) $\sum_{k=1}^n \frac{1}{c_k} = \frac{n}{2(n+1)}$, $\sum_{k=1}^n \frac{a_k}{(c_k)^2} = \frac{n(n+2)}{4(n+1)^2}$