関数 $f(x) = ax + b$ の逆関数を $f^{-1}(x)$ とする。$f^{-1}(5) = 4$ および $f^{-1}(-5) = -1$ のとき、定数 $a$, $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = ax + b$ の逆関数を $f^{-1}(x)$ とする。$f^{-1}(5) = 4$ および $f^{-1}(-5) = -1$ のとき、定数 $a$, $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

逆関数の性質より、$f^{-1}(5) = 4$ ならば $f(4) = 5$ であり、$f^{-1}(-5) = -1$ ならば $f(-1) = -5$ である。

したがって、次の2つの式が成り立つ。

$f(4) = 4a + b = 5$

$f(-1) = -a + b = -5$

これらを連立方程式として解く。

第1の式から第2の式を引くと、

$(4a + b) - (-a + b) = 5 - (-5)$

$5a = 10$

$a = 2$

$a=2$ を第2の式に代入すると、

$-2 + b = -5$

$b = -5 + 2$

$b = -3$

したがって、$a = 2$、$b = -3$ である。

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = -3$