$m, n$ は正の整数で $m < n$ とする。$m$ 以上 $n$ 以下の分数で、5を分母とし、5の倍数でない整数を分子とするもの全体の和を求めよ。

1. 問題の内容

$m, n$ は正の整数で $m < n$ とする。$m$ 以上 $n$ 以下の分数で、5を分母とし、5の倍数でない整数を分子とするもの全体の和を求めよ。

2. 解き方の手順

$m$ 以上 $n$ 以下の整数を $k$ とする。

条件を満たす分数は $\frac{k}{5}$ であり、$m \le \frac{k}{5} \le n$ を満たし、$k$ は5の倍数ではない。

$5m \le k \le 5n$

求める和を $S$ とすると、

$S = \sum_{\substack{k=5m \\ k \neq 5l}}^{5n} \frac{k}{5}$ (ただし $l$ は整数)

まず、$5m$ から $5n$ までの整数の和を求める。

$\sum_{k=5m}^{5n} \frac{k}{5} = \frac{1}{5} \sum_{k=5m}^{5n} k = \frac{1}{5} \cdot \frac{(5m + 5n)(5n - 5m + 1)}{2}$

次に、$5m$ から $5n$ までの5の倍数の和を求める。

$5m, 5(m+1), 5(m+2), \dots, 5n$

項数は $n - m + 1$ なので、

$\sum_{k=m}^{n} \frac{5k}{5} = \sum_{k=m}^{n} k = \frac{(m+n)(n-m+1)}{2}$

求める和は、全体の和から5の倍数の和を引いたものとなる。

$S = \frac{1}{5} \cdot \frac{(5m + 5n)(5n - 5m + 1)}{2} - \frac{(m+n)(n-m+1)}{2}$

$S = \frac{5(m+n)(5n-5m+1)}{10} - \frac{(m+n)(n-m+1)}{2}$

$S = \frac{(m+n)(5(n-m)+1)}{2} - \frac{(m+n)(n-m+1)}{2} = \frac{(m+n)(5n-5m+1 - n + m - 1)}{2} = \frac{(m+n)(4n-4m)}{10}$

$S = \frac{4(m+n)(n-m)}{10} = \frac{2(m+n)(n-m)}{5} = \frac{2(n^2-m^2)}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{2(n^2-m^2)}{5}$