$\log_{10}2 = 0.3010$, $\log_{10}3 = 0.4771$ が与えられたとき、次の問いに答える。 (1) $18^{18}$ は何桁の数か。 (2) $18^{18}$ の最高位の数字は何か。 (3) $18^{18}$ の末尾の数字は何か。

1. 問題の内容

$\log_{10}2 = 0.3010$, $\log_{10}3 = 0.4771$ が与えられたとき、次の問いに答える。

(1) $18^{18}$ は何桁の数か。

(2) $18^{18}$ の最高位の数字は何か。

(3) $18^{18}$ の末尾の数字は何か。

2. 解き方の手順

(1) 桁数を求める。

$N = 18^{18}$ とおく。両辺の常用対数をとると、

$\log_{10} N = \log_{10} 18^{18} = 18 \log_{10} 18 = 18 \log_{10} (2 \cdot 3^2) = 18(\log_{10} 2 + 2 \log_{10} 3)$

与えられた値を代入すると、

$\log_{10} N = 18(0.3010 + 2 \cdot 0.4771) = 18(0.3010 + 0.9542) = 18(1.2552) = 22.5936$

$10^{22} < N < 10^{23}$ であるから、 $N$ は23桁の数である。

(2) 最高位の数字を求める。

$\log_{10} N = 22.5936$ より、$N = 10^{22.5936} = 10^{22} \cdot 10^{0.5936}$

$10^{0.5936}$ の値を求める。

$\log_{10}3 = 0.4771 < 0.5936 < 0.6020 = \log_{10}4$ である。

$10^{0.5936}$ は3と4の間にある。

$\log_{10} 3.9 = \log_{10}(3 \cdot 1.3) = \log_{10} 3 + \log_{10} 1.3$

$\log_{10} 1.3 \approx 0.1139$

$\log_{10} 3.9 = 0.4771 + 0.1139 = 0.591$

$\log_{10} 4.0 = \log_{10} 2^2 = 2 \log_{10} 2 = 2(0.3010) = 0.6020$

$3.9 < 10^{0.5936} < 4.0$なので、最高位の数字は3である。

(3) 末尾の数字を求める。

$18^{18}$ の末尾の数字は、 $8^{18}$ の末尾の数字と同じである。

$8^1 = 8$

$8^2 = 64$ (末尾は4)

$8^3 = 512$ (末尾は2)

$8^4 = 4096$ (末尾は6)

$8^5 = 32768$ (末尾は8)

末尾の数字は8, 4, 2, 6の繰り返しになる。周期は4。

$18 \div 4 = 4$ あまり 2。

$8^{18}$ の末尾の数字は、$8^2$ の末尾の数字と同じで、4である。

3. 最終的な答え

(1) 23桁

(2) 3

(3) 4