与えられた順列（P）と階乗（!）の計算問題を解きます。具体的には、以下の8つの問題を解きます。 (1) 5P3 (2) 7P4 (3) 5P5 (4) 3P1 (5) 4! (6) 9!/7! (7) 8P2 + 5P2 (8) 4P2 × 3!

1. 問題の内容

与えられた順列（P）と階乗（!）の計算問題を解きます。具体的には、以下の8つの問題を解きます。

(1) 5P3

(2) 7P4

(3) 5P5

(4) 3P1

(5) 4!

(6) 9!/7!

(7) 8P2 + 5P2

(8) 4P2 × 3!

2. 解き方の手順

順列 $nP_r$ は、n個のものからr個を選んで並べる場合の数を表し、次の式で計算できます。

$nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$

階乗 $n!$ は、1からnまでの自然数の積を表します。

$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times 2 \times 1$

各問題について、上記の式を用いて計算します。

(1) $5P_3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 5 \times 4 \times 3 = 60$

(2) $7P_4 = \frac{7!}{(7-4)!} = \frac{7!}{3!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$

(3) $5P_5 = \frac{5!}{(5-5)!} = \frac{5!}{0!} = \frac{5!}{1} = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

(ただし $0! = 1$ である)

(4) $3P_1 = \frac{3!}{(3-1)!} = \frac{3!}{2!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 3$

(5) $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

(6) $\frac{9!}{7!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 9 \times 8 = 72$

(7) $8P_2 + 5P_2 = \frac{8!}{(8-2)!} + \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{8!}{6!} + \frac{5!}{3!} = (8 \times 7) + (5 \times 4) = 56 + 20 = 76$

(8) $4P_2 \times 3! = \frac{4!}{(4-2)!} \times (3 \times 2 \times 1) = \frac{4!}{2!} \times 6 = (4 \times 3) \times 6 = 12 \times 6 = 72$

3. 最終的な答え

(1) 60

(2) 840

(3) 120

(4) 3

(5) 24

(6) 72

(7) 76

(8) 72