複数の複素数に関する問題が出題されています。具体的には、複素数の対称点、絶対値、複素数平面上の点の位置、2点間の距離、極形式、複素数の性質などが問われています。

1. 問題の内容

複数の複素数に関する問題が出題されています。具体的には、複素数の対称点、絶対値、複素数平面上の点の位置、2点間の距離、極形式、複素数の性質などが問われています。

2. 解き方の手順

問題1:

複素数 $z = 1 - 2i$ を表す点に関して、実軸に対称な点は虚部を反転させることで得られ、原点対称な点は実部と虚部を両方反転させることで得られます。

* 実軸対称: $1 + 2i$

* 原点対称: $-1 + 2i$

問題2:

複素数 $a+bi$ の絶対値は $\sqrt{a^2 + b^2}$ で計算できます。

(1) $-3 + 4i$ の絶対値: $\sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

(2) $\sqrt{2} + \sqrt{6}i$ の絶対値: $\sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{6})^2} = \sqrt{2 + 6} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

(3) $(1 - 2i)^2 = 1 - 4i + 4i^2 = 1 - 4i - 4 = -3 - 4i$。この絶対値は $\sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

問題3:

複素数平面上の点 $α$ と $β$ が与えられていて、$α + β$, $α - β$, $β - α$ を図示します。問題文にグラフが添付されていますが、具体的な $α$ と $β$ の値が分からないため、ここでは一般的な方法を説明します。$α = a + bi$, $β = c + di$ とすると、

* $α + β = (a+c) + (b+d)i$

* $α - β = (a-c) + (b-d)i$

* $β - α = (c-a) + (d-b)i$

問題4:

2点 $A(z_1)$ と $B(z_2)$ 間の距離は $|z_2 - z_1|$ で計算できます。

(1) $A(1 + 2i), B(3 - 2i)$ の距離: $|(3 - 2i) - (1 + 2i)| = |2 - 4i| = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

(2) $O(0), A(2 - i)$ の距離: $|(2 - i) - 0| = |2 - i| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

問題5:

$α = 2 + i$, $β = x - i$ とします。2点 $A(α)$, $B(β)$ と原点 $O$ が一直線上にあるとき、$α$ と $β$ は実数倍の関係にあります。つまり、$α = kβ$ ($k$は実数) となるので、$2 + i = k(x - i) = kx - ki$。実部と虚部を比較すると、$2 = kx$ と $1 = -k$。$k = -1$ より、$2 = -x$。したがって、$x = -2$。

3. 最終的な答え

問題1:

実軸対称: $1 + 2i$

原点対称: $-1 + 2i$

問題2:

(1) $5$

(2) $2\sqrt{2}$

(3) $5$

問題4:

(1) $2\sqrt{5}$

(2) $\sqrt{5}$

問題5:

$x = -2$