複素数 $a = 2\sqrt{2}(1+i)$ に対して、等式 $|z-a| = 2$ を満たす複素数 $z$ のうち、絶対値 $|z|$ が最大となる $z$ を求める問題です。ただし、複素数の偏角は $0$ 以上 $2\pi$ 未満とします。

1. 問題の内容

複素数 $a = 2\sqrt{2}(1+i)$ に対して、等式 $|z-a| = 2$ を満たす複素数 $z$ のうち、絶対値 $|z|$ が最大となる $z$ を求める問題です。ただし、複素数の偏角は $0$ 以上 $2\pi$ 未満とします。

2. 解き方の手順

まず、$a$ を極形式で表します。

$a = 2\sqrt{2}(1+i) = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} i) = 4 (\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}) = 4e^{i\frac{\pi}{4}}$

次に、等式 $|z-a| = 2$ は、複素数平面上で中心が $a$ で半径が $2$ の円を表します。

絶対値 $|z|$ が最大となる $z$ は、原点から円の中心 $a$ を結ぶ直線と円との交点のうち、原点から最も遠い点です。

$z = a + 2e^{i\frac{\pi}{4}}$となることは明らかではありません。

原点から円の中心 $a$ を結ぶ直線は、$a$ の方向ベクトルを持ちます。したがって、$z$ は $a$ と同じ偏角を持つことになります。

$z = r e^{i \frac{\pi}{4}}$ （$r$ は実数）とおくと、 $|z-a|=2$ より

$|re^{i\frac{\pi}{4}} - 4e^{i\frac{\pi}{4}}|=2$

$|r-4||e^{i\frac{\pi}{4}}|=2$

$|r-4| = 2$

$r-4 = 2$ または $r-4 = -2$

$r = 6$ または $r = 2$

$|z|$ が最大となるのは $r = 6$ のときです。

したがって、$z = 6e^{i\frac{\pi}{4}} = 6 (\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}) = 6(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} i) = 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} i$

3. 最終的な答え

$z = 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2}i$