$z$ は虚数であり、$z_1 = z + \sqrt{2} + \sqrt{2}i$ のとき、$z_1$ が描く図形が、$\sqrt{2} + \sqrt{2}i$ を中心とする半径1の円である理由を問われています。

1. 問題の内容

$z$ は虚数であり、$z_1 = z + \sqrt{2} + \sqrt{2}i$ のとき、$z_1$ が描く図形が、$\sqrt{2} + \sqrt{2}i$ を中心とする半径1の円である理由を問われています。

2. 解き方の手順

$z$ が虚数であることから、$z = bi$ (ただし $b$ は実数) と表すことができます。

$z_1 = z + \sqrt{2} + \sqrt{2}i$ に $z = bi$ を代入すると、

$z_1 = bi + \sqrt{2} + \sqrt{2}i = \sqrt{2} + (b + \sqrt{2})i$ となります。

$z_1 = x + yi$ と置くと、$x = \sqrt{2}$, $y = b + \sqrt{2}$ です。よって、$b = y - \sqrt{2}$ となります。

$z = bi$ より、$z$ の絶対値 $|z|$ は $|z| = |bi| = |b|$ です。

問題文のどこにも $z$ の絶対値に関する情報がないので、恐らく問題文の「半径1の円」というのは誤りです。

$z$ が虚数という条件だけから $z_1$ が描く図形を考えると、$b$ は任意の実数なので、$y$ も任意の実数となります。

$x$ は $\sqrt{2}$ に固定されているので、$z_1$ は実部が $\sqrt{2}$ である複素数全体、すなわち直線 $x = \sqrt{2}$ を表します。

ただし、$z$ の絶対値に関する条件 $|z|=1$ があれば、 $|b| = 1$ となり、$b = 1$ または $b = -1$ です。

このとき、$y = b + \sqrt{2}$ なので、$y = 1 + \sqrt{2}$ または $y = -1 + \sqrt{2}$ です。

よって、$z_1 = \sqrt{2} + (1 + \sqrt{2})i$ または $z_1 = \sqrt{2} + (-1 + \sqrt{2})i$ となり、$z_1$ は2つの点を表します。

もし問題文に「$|z| = 1$」という条件が隠されているのではなく、別の条件がある場合、例えば、$|z - c| = r$（$c$ は複素数、$r$ は正の実数）のような条件が与えられている場合、$z$ は中心 $c$、半径 $r$ の円周上の点を表します。

このとき、$z_1 = z + \sqrt{2} + \sqrt{2}i$ は、$z_1 - (\sqrt{2} + \sqrt{2}i) = z$ となるので、$|z_1 - (\sqrt{2} + \sqrt{2}i)| = |z| = r$ となり、$z_1$ は中心 $\sqrt{2} + \sqrt{2}i$、半径 $r$ の円周上の点を表します。

問題文に $|z| = 1$ という条件が隠されていると考えると、$z_1$ は中心 $\sqrt{2} + \sqrt{2}i$、半径 $1$ の円周上の点を表すことになります。

3. 最終的な答え

$z$ が虚数という条件だけでは、$z_1$ は直線 $x = \sqrt{2}$ を表します。

もし $|z| = 1$ という条件があるならば、$z_1$ は中心 $\sqrt{2} + \sqrt{2}i$、半径 $1$ の円周上の点を表します。