複素数 $z$ が $|z-1-i| = \sqrt{2}|z+1+i|$ を満たしながら動くとき、$|z-i|$ の最大値を求める問題です。

1. 問題の内容

複素数 $z$ が $|z-1-i| = \sqrt{2}|z+1+i|$ を満たしながら動くとき、$|z-i|$ の最大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた条件式 $|z-1-i| = \sqrt{2}|z+1+i|$ を変形して、$z$ がどのような図形を表すのかを調べます。

$z = x+yi$ （$x, y$ は実数）とおくと、

$|x+yi - 1 - i| = \sqrt{2}|x+yi + 1 + i|$

$|(x-1) + (y-1)i| = \sqrt{2}|(x+1) + (y+1)i|$

$\sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2} = \sqrt{2}\sqrt{(x+1)^2 + (y+1)^2}$

両辺を2乗して、

$(x-1)^2 + (y-1)^2 = 2((x+1)^2 + (y+1)^2)$

$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = 2(x^2 + 2x + 1 + y^2 + 2y + 1)$

$x^2 - 2x + y^2 - 2y + 2 = 2x^2 + 4x + 2y^2 + 4y + 4$

$0 = x^2 + 6x + y^2 + 6y + 2$

$x^2 + 6x + 9 + y^2 + 6y + 9 = -2 + 9 + 9$

$(x+3)^2 + (y+3)^2 = 16 = 4^2$

これは、中心が $-3-3i$, 半径が $4$ の円を表します。

次に、$|z-i|$ を求めます。これは、$z$ と $i$ の距離を表します。

$|z-i|$ の最大値は、円の中心 $-3-3i$ から $i$ までの距離に、円の半径 $4$ を加えたものです。

中心から $i$ までの距離は、

$|-3-3i - i| = |-3-4i| = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

したがって、$|z-i|$ の最大値は、$5 + 4 = 9$

3. 最終的な答え

$9$