複素数 $a = 2\sqrt{2}(1+i)$ が与えられ、等式 $|z-a| = 2$ を満たす複素数 $z$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) 絶対値が最大となる $z$ を求める。 (2) 偏角が最大となる $z$ を $\beta$ とおくとき、 (i) $\frac{\beta}{a}$ の絶対値と偏角を求める。 (ii) $\beta$ とその偏角を求める。 (iii) $1 \le n \le 100$ の範囲で、$\beta^n$ が実数となる整数 $n$ の個数を求める。

1. 問題の内容

複素数 $a = 2\sqrt{2}(1+i)$ が与えられ、等式 $|z-a| = 2$ を満たす複素数 $z$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) 絶対値が最大となる $z$ を求める。

(2) 偏角が最大となる $z$ を $\beta$ とおくとき、

(i) $\frac{\beta}{a}$ の絶対値と偏角を求める。

(ii) $\beta$ とその偏角を求める。

(iii) $1 \le n \le 100$ の範囲で、$\beta^n$ が実数となる整数 $n$ の個数を求める。

2. 解き方の手順

(1) $|z-a|=2$ は、複素数平面上で点 $a$ を中心とする半径 2 の円を表します。$z$ の絶対値が最大となるのは、円の中心 $a$ から実軸の正の方向へ延長した直線と円との交点です。$a = 2\sqrt{2}(1+i) = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}i$ なので、$|a| = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{8+8} = \sqrt{16} = 4$。$z$ は $a$ から距離 2 だけ離れているので、$z = a + 2\frac{a}{|a|}=a+2\frac{a}{4}=a+\frac{a}{2}=\frac{3}{2}a$ であり、$z = a + \frac{2}{\sqrt{2}}(\sqrt{2}+\sqrt{2}i)=2\sqrt{2}+2\sqrt{2}i + \sqrt{2}+\sqrt{2}i = 3\sqrt{2}+3\sqrt{2}i$となります。絶対値が最大となる$z$は、$z=a+2e^{i\theta}=2\sqrt{2}(1+i)+2\frac{1+i}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}+2\sqrt{2}i+\sqrt{2}+i\sqrt{2}=3\sqrt{2}+3\sqrt{2}i$

(2)

(i) $\beta$ は、円 $|z-a| = 2$ 上で偏角が最大となる点です。円の中心 $a$ の偏角は $\arg(a) = \frac{\pi}{4}$ です。円の半径は 2 であり、円の中心からの距離は 4 です。したがって、$\beta = a + 2i=2\sqrt{2}+i(2\sqrt{2}+2)$

$\frac{\beta}{a}$ の絶対値は、$\left|\frac{\beta}{a}\right| = \frac{|\beta|}{|a|} = \frac{|2\sqrt{2}+i(2\sqrt{2}+2)|}{4} = \frac{\sqrt{8 + (2\sqrt{2}+2)^2}}{4} = \frac{\sqrt{8 + 8 + 8\sqrt{2}+4}}{4} = \frac{\sqrt{20+8\sqrt{2}}}{4}=\frac{\sqrt{4(5+2\sqrt{2})}}{4}=\frac{2\sqrt{5+2\sqrt{2}}}{4}=\frac{\sqrt{5+2\sqrt{2}}}{2}$

$\frac{\beta}{a}$の偏角$\arg(\frac{\beta}{a})=\arg(\beta)-\arg(a)=\arg(\beta)-\frac{\pi}{4}$

$\arg(\beta) = \arctan(\frac{2\sqrt{2}+2}{2\sqrt{2}}) = \arctan(1+\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\pi}{4} + \alpha$とすると、$\tan(\alpha)=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\arg(\frac{\beta}{a}) = \arctan(1+\frac{1}{\sqrt{2}})-\frac{\pi}{4}=\arctan(\frac{1}{\sqrt{2}})$

(ii) $\beta=2\sqrt{2}+2i+2i\sqrt{2}$なので、$|\beta|^2=(2\sqrt{2})^2+(2+2\sqrt{2})^2=8+4+8\sqrt{2}+8=20+8\sqrt{2}$

$|\beta|=\sqrt{20+8\sqrt{2}}=2\sqrt{5+2\sqrt{2}}$

$\arg(\beta) = \arctan(\frac{2+2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}})=\arctan(\frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

(iii) $\beta^n$ が実数となるのは、$\arg(\beta^n) = n \arg(\beta) = k\pi$ (kは整数) となるとき。

$n \arctan(\frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) = k \pi$

$\arctan(\frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{2}})/\pi=p$とおくと、np=k

$\beta = 2\sqrt{2} + i(2+2\sqrt{2})$より$|z-a|=2$に沿って考えると、$2\sqrt{2}(1+i)+2i = 2\sqrt{2}+i(2\sqrt{2}+2)$

$\arg{\beta} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$

$n \cdot \frac{3\pi}{4} = k \pi$

$\frac{3n}{4} = k$

$3n = 4k$

$n = \frac{4k}{3}$

$n$ は整数なので、$k$ は 3 の倍数である必要があります。$k = 3m$ とすると、$n = 4m$ となります。

$1 \le n \le 100$ なので、$1 \le 4m \le 100$。したがって、$\frac{1}{4} \le m \le 25$。$m$ は整数なので、$1 \le m \le 25$。よって、$n$ の個数は 25 個です。

3. 最終的な答え

(1) $z = 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2}i$

(2)

(i) $\left|\frac{\beta}{a}\right| = \frac{\sqrt{5+2\sqrt{2}}}{2}$, $\arg(\frac{\beta}{a})=\arctan(\frac{1}{\sqrt{2}})$

(ii) $\beta = 2\sqrt{2} + i(2+2\sqrt{2})$, $\arg(\beta) = \frac{3\pi}{4}$

(iii) 25