複素数 $z$ が $z + \frac{1}{z} = \sqrt{2}$ を満たすとき、以下の問いに答える。 (1) $z$ を極形式で表せ。ただし、偏角 $\theta$ は $-\pi \le \theta < \pi$ とする。 (2) $z^{18} + \frac{1}{z^{12}}$ のとり得る値を求めよ。

1. 問題の内容

複素数 $z$ が $z + \frac{1}{z} = \sqrt{2}$ を満たすとき、以下の問いに答える。

(1) $z$ を極形式で表せ。ただし、偏角 $\theta$ は $-\pi \le \theta < \pi$ とする。

(2) $z^{18} + \frac{1}{z^{12}}$ のとり得る値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $z + \frac{1}{z} = \sqrt{2}$ より、$z^2 - \sqrt{2}z + 1 = 0$。

この2次方程式を解くと、

$z = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2-4}}{2} = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{-2}}{2} = \frac{\sqrt{2} \pm i\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \pm i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$z = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$ の場合、絶対値は $r = \sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 1$.

偏角は $\theta = \arctan(\frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2}) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$.

よって、$z = \cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4}) = e^{i\frac{\pi}{4}}$.

$z = \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$ の場合、絶対値は $r = \sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 1$.

偏角は $\theta = \arctan(\frac{-\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2}) = \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$.

よって、$z = \cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}) = e^{-i\frac{\pi}{4}}$.

(2)

$z = e^{i\frac{\pi}{4}}$ の場合、

$z^{18} = e^{i\frac{18\pi}{4}} = e^{i\frac{9\pi}{2}} = e^{i(4\pi + \frac{\pi}{2})} = e^{i\frac{\pi}{2}} = \cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2}) = i$.

$\frac{1}{z^{12}} = z^{-12} = e^{-i\frac{12\pi}{4}} = e^{-i3\pi} = \cos(-3\pi) + i\sin(-3\pi) = \cos(\pi) + i\sin(\pi) = -1$.

したがって、$z^{18} + \frac{1}{z^{12}} = i - 1 = -1 + i$.

$z = e^{-i\frac{\pi}{4}}$ の場合、

$z^{18} = e^{-i\frac{18\pi}{4}} = e^{-i\frac{9\pi}{2}} = e^{-i(4\pi + \frac{\pi}{2})} = e^{-i\frac{\pi}{2}} = \cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2}) = -i$.

$\frac{1}{z^{12}} = z^{-12} = e^{i\frac{12\pi}{4}} = e^{i3\pi} = \cos(3\pi) + i\sin(3\pi) = \cos(\pi) + i\sin(\pi) = -1$.

したがって、$z^{18} + \frac{1}{z^{12}} = -i - 1 = -1 - i$.

3. 最終的な答え

(1) $z = \cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4})$ または $z = \cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4})$

(2) $-1+i, -1-i$