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問題8：三角形ABCにおいて、点Gが重心であるとき、xとyの値を求める問題です。 (1)と(2)の2問あります。 問題9：三角形ABCにおいて、点Oが外心であるとき、∠xの大きさを求める問題です。(1)と(2)の2問あります。

幾何学三角形重心外心相似角度
2025/7/27

1. 問題の内容

問題8：三角形ABCにおいて、点Gが重心であるとき、xとyの値を求める問題です。 (1)と(2)の2問あります。
問題9：三角形ABCにおいて、点Oが外心であるとき、∠xの大きさを求める問題です。(1)と(2)の2問あります。

2. 解き方の手順

問題8 (1)：
重心Gは中線を2:1に内分します。
よって、AG : GD = 2 : 1。
AG = y、GD = 6なので、y : 6 = 2 : 1。
よって、y = 12。
また、BD = DC。
BC = BD + DC = x + x = 2x。
AE = EC。
BE : EG = 3 : 1。
BG : GE = 2 : 1。
中線ADと中線BEの交点がG。
AEは8なので、ECも8。AC = 8 + 8 = 16。
ADは中線なので、BD = DC。DはBCの中点。
BD = BC/2。
ADは中線なので、x = BD。
ABの中点はEなので、ACはBEの二倍。
x = BD = DC。ADは中線。
Gは重心なので、BD = DC = x。
ADは中線なので、x = (1/2)BC。
ADの比率は2:1なので、x=3。
問題8 (2)：
PQ // BCなので、△APQと△ABCは相似です。
AG : AD = 2 : 3。
AG = 12なので、AD = (3/2) * 12 = 18。
GD = AD - AG = 18 - 12 = 6。
AG : GD = 2 : 1。
AQ : AC = AG : AD = 2 : 3。
PQ // BCなので、△APQ ∽ △ABC。
ゆえに、AQ / AC = PG / BD。
ここで、AC = AQ + QC = y + 5。
AQ : AC = 2 : 3なので、AQ = (2/3)AC。
y = AQ = (2/3)AC = (2/3)(y+5)。
3y = 2y + 10。
y = 10。
AG : AD = AP : AB = 2 : 3。
PG // BCなので、AP / AB = AQ / AC。
AP / AB = AG / AD = PG / (BD+DC)
PG / BD = 2/3。
PG // BCであり、Gは重心なので
AD = AG + GD = 12 + 6 = 18。
AG = 12。
AD = 18。
AP : AB = AG : AD = 2 : 3。
PG = x。
BD = CD = x/2。
AP : AB = AQ / AC = 2:3
x = PG = (2/3)BC = (2/3) * (BD + DC)。
ここでBD = DCなので、x = (2/3)(2BD)。
x = 4/3 * BD
AG : AD = AP : AB = AQ : AC = 2/3。
AQ = y = 10 より、 AC = (3/2)y = (3/2) * 10 = 15。
DC = AC - AQ = 15 - 10 = 5。
BC = 2 * DC = 2 * 5 = 10。
x = PG。
PG / BC = AG / AD = 2/3。
x = (2/3) * BC = (2/3) * 10 = 20/3。
問題9 (1)：
点Oは△ABCの外心なので、OA = OB = OC。
△OABは二等辺三角形なので、∠OAB = ∠OBA = x。
△OACは二等辺三角形なので、∠OAC = ∠OCA = 10 + 15 = 25度。
△OBCは二等辺三角形なので、∠OBC = ∠OCB = 15度。
△ABCにおいて、∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180度。
(x + 25) + (x + 15) + (15 + 25) = 180。
2x + 80 = 180。
2x = 100。
x = 50。
問題9 (2)：
点Oは△ABCの外心なので、OA = OB = OC。
△OABは二等辺三角形なので、∠OAB = ∠OBA = 30度。
△OACは二等辺三角形なので、∠OAC = ∠OCA = 70度。
∠BAC = x。
△OBCは二等辺三角形なので、∠OBC = ∠OCB = (180 - ∠BOC) / 2。
∠BOC = 2 * ∠BAC (外心角) = 2x。
∠OBC = ∠OCB = (180 - 2x) / 2 = 90 - x。
△ABCにおいて、∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180度。
x + (30 + (90 - x)) + (70 + (90 -x )) =
1
8

0. ∠B = ∠OBA + ∠OBC = 30 + 90 - x

∠C = ∠OCA + ∠OCB = 70 + 90 - x
30 + (90-x) + 70 + (90 - x) + x = 180。
280 - x =
1
8

0. x = 100。

△ABCにおいて、x + (30 + (90 - x)) + 70 = 180。
190 - x = 80。
△ABCにおいて、∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180度。
x + (30 + (90 - x)) + 70 = 180
30 + (90 - x) + 70 + x =180
x + (30 +y) + (70+y)=180
OA = OB = OC
∠ABO = 30
∠ACO = 70
△OBCは二等辺三角形
∠OBC = ∠OCB
∠BOC = 2x
2 * ∠OBC + ∠BOC = 180
∠OBC = (180 - 2x) / 2 = 90 - x
30 + (90-x) + 70 + x = 180
x = 20

3. 最終的な答え

問題8：
(1) x = 3, y = 12
(2) x = 20/3, y = 10
問題9：
(1) x = 50
(2) x = 20

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