(1) 半径が4、中心角が$\frac{5}{12}\pi$の扇形の弧の長さと面積を求めよ。 (2) $\sin\frac{4}{3}\pi$, $\cos\frac{13}{6}\pi$, $\tan(-\frac{7}{4}\pi)$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 半径が4、中心角が$\frac{5}{12}\pi$の扇形の弧の長さと面積を求めよ。

(2) $\sin\frac{4}{3}\pi$, $\cos\frac{13}{6}\pi$, $\tan(-\frac{7}{4}\pi)$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

扇形の弧の長さ$l$は、$l = r\theta$で計算できます。ここで、$r$は半径、$\theta$は中心角です。

扇形の面積$S$は、$S = \frac{1}{2}r^2\theta$で計算できます。

与えられた値$r=4$、$\theta = \frac{5}{12}\pi$をそれぞれの式に代入します。

弧の長さ:

$l = 4 \cdot \frac{5}{12}\pi = \frac{5}{3}\pi$

面積:

$S = \frac{1}{2} \cdot 4^2 \cdot \frac{5}{12}\pi = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \frac{5}{12}\pi = \frac{40}{12}\pi = \frac{10}{3}\pi$

(2)

$\sin\frac{4}{3}\pi$について:

$\frac{4}{3}\pi = \pi + \frac{1}{3}\pi$ なので、$\sin\frac{4}{3}\pi = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos\frac{13}{6}\pi$について:

$\frac{13}{6}\pi = 2\pi + \frac{\pi}{6}$ なので、$\cos\frac{13}{6}\pi = \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan(-\frac{7}{4}\pi)$について:

$-\frac{7}{4}\pi = -2\pi + \frac{\pi}{4}$ なので、$\tan(-\frac{7}{4}\pi) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$

3. 最終的な答え

(1)

弧の長さ: $\frac{5}{3}\pi$

面積: $\frac{10}{3}\pi$

(2)

$\sin\frac{4}{3}\pi = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos\frac{13}{6}\pi = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan(-\frac{7}{4}\pi) = 1$