回路が与えられており、インピーダンス $Z_1 = 10 + j5 \ [\Omega]$ とアドミタンス $Y_2 = \frac{1}{25} - j\frac{2}{25} \ [S]$ が直列に接続されています。角周波数は $\omega = 100 \ [rad/s]$ です。 (1) a-b間のインピーダンス $Z$ を複素数表示と極表示で求めます。 (2) 端子a-b間に電圧 $V = 30\sqrt{2}\angle 15^\circ$ を加えたときの、a-b間を流れる電流 $I$ を極表示で求めます。

1. 問題の内容

回路が与えられており、インピーダンス $Z_1 = 10 + j5 \ [\Omega]$ とアドミタンス $Y_2 = \frac{1}{25} - j\frac{2}{25} \ [S]$ が直列に接続されています。角周波数は $\omega = 100 \ [rad/s]$ です。

(1) a-b間のインピーダンス $Z$ を複素数表示と極表示で求めます。

(2) 端子a-b間に電圧 $V = 30\sqrt{2}\angle 15^\circ$ を加えたときの、a-b間を流れる電流 $I$ を極表示で求めます。

2. 解き方の手順

(1) インピーダンス $Z$ の複素数表示を求める

$Z_2 = \frac{1}{Y_2} = \frac{1}{\frac{1}{25} - j\frac{2}{25}} = \frac{25}{1 - 2j} = \frac{25(1 + 2j)}{(1 - 2j)(1 + 2j)} = \frac{25(1 + 2j)}{1 + 4} = \frac{25}{5}(1 + 2j) = 5 + 10j \ [\Omega]$

全体のインピーダンス $Z$ は $Z_1$ と $Z_2$ の直列接続なので、

$Z = Z_1 + Z_2 = (10 + j5) + (5 + j10) = 15 + j15 \ [\Omega]$

(2) インピーダンス $Z$ の極表示を求める

$|Z| = \sqrt{15^2 + 15^2} = \sqrt{225 + 225} = \sqrt{450} = 15\sqrt{2} \ [\Omega]$

$\angle Z = \arctan(\frac{15}{15}) = \arctan(1) = 45^\circ$

よって、$Z = 15\sqrt{2} \angle 45^\circ \ [\Omega]$

(3) 電流 $I$ の極表示を求める

$I = \frac{V}{Z} = \frac{30\sqrt{2} \angle 15^\circ}{15\sqrt{2} \angle 45^\circ} = \frac{30\sqrt{2}}{15\sqrt{2}} \angle (15^\circ - 45^\circ) = 2 \angle -30^\circ \ [A]$

3. 最終的な答え

インピーダンスの複素数表示: $15 + j15 \ [\Omega]$

インピーダンスの極表示: $15\sqrt{2} \angle 45^\circ \ [\Omega]$

電流の極表示: $2 \angle -30^\circ \ [A]$