問題6-4は以下の2つの公式を示す問題です。 (1) $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{b}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) - \mathbf{c}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$ (2) $(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 + |\mathbf{a} \times \mathbf{b}|^2 = |\mathbf{a}|^2 |\mathbf{b}|^2$

1. 問題の内容

問題6-4は以下の2つの公式を示す問題です。

(1) $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{b}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) - \mathbf{c}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$

(2) $(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 + |\mathbf{a} \times \mathbf{b}|^2 = |\mathbf{a}|^2 |\mathbf{b}|^2$

2. 解き方の手順

(1) $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{b}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) - \mathbf{c}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$を示す

$\mathbf{a} = (a_x, a_y, a_z)$, $\mathbf{b} = (b_x, b_y, b_z)$, $\mathbf{c} = (c_x, c_y, c_z)$とします。

まず、$\mathbf{b} \times \mathbf{c}$を計算します。

$\mathbf{b} \times \mathbf{c} = (b_y c_z - b_z c_y, b_z c_x - b_x c_z, b_x c_y - b_y c_x)$

次に、$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$を計算します。

$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = (a_y(b_x c_y - b_y c_x) - a_z(b_z c_x - b_x c_z), a_z(b_y c_z - b_z c_y) - a_x(b_x c_y - b_y c_x), a_x(b_z c_x - b_x c_z) - a_y(b_y c_z - b_z c_y))$

成分を整理すると、

$x$成分: $a_y b_x c_y - a_y b_y c_x - a_z b_z c_x + a_z b_x c_z$

$y$成分: $a_z b_y c_z - a_z b_z c_y - a_x b_x c_y + a_x b_y c_x$

$z$成分: $a_x b_z c_x - a_x b_x c_z - a_y b_y c_z + a_y b_z c_y$

一方、$\mathbf{b}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) - \mathbf{c}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$を計算します。

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{c} = a_x c_x + a_y c_y + a_z c_z$

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$

$\mathbf{b}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) = (b_x(a_x c_x + a_y c_y + a_z c_z), b_y(a_x c_x + a_y c_y + a_z c_z), b_z(a_x c_x + a_y c_y + a_z c_z))$

$\mathbf{c}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) = (c_x(a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z), c_y(a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z), c_z(a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z))$

$\mathbf{b}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) - \mathbf{c}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) = (b_x(a_x c_x + a_y c_y + a_z c_z) - c_x(a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z), b_y(a_x c_x + a_y c_y + a_z c_z) - c_y(a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z), b_z(a_x c_x + a_y c_y + a_z c_z) - c_z(a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z))$

成分を整理すると、

$x$成分: $b_x a_y c_y + b_x a_z c_z - c_x a_y b_y - c_x a_z b_z$

$y$成分: $b_y a_x c_x + b_y a_z c_z - c_y a_x b_x - c_y a_z b_z$

$z$成分: $b_z a_x c_x + b_z a_y c_y - c_z a_x b_x - c_z a_y b_y$

$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$と$\mathbf{b}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) - \mathbf{c}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$の成分を比較すると、一致することがわかります。

(2) $(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 + |\mathbf{a} \times \mathbf{b}|^2 = |\mathbf{a}|^2 |\mathbf{b}|^2$を示す

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$

$|\mathbf{a} \times \mathbf{b}|^2 = (a_y b_z - a_z b_y)^2 + (a_z b_x - a_x b_z)^2 + (a_x b_y - a_y b_x)^2$

$|\mathbf{a}|^2 = a_x^2 + a_y^2 + a_z^2$

$|\mathbf{b}|^2 = b_x^2 + b_y^2 + b_z^2$

$(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 = (a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z)^2 = a_x^2 b_x^2 + a_y^2 b_y^2 + a_z^2 b_z^2 + 2 a_x b_x a_y b_y + 2 a_x b_x a_z b_z + 2 a_y b_y a_z b_z$

$|\mathbf{a} \times \mathbf{b}|^2 = a_y^2 b_z^2 + a_z^2 b_y^2 - 2 a_y a_z b_y b_z + a_z^2 b_x^2 + a_x^2 b_z^2 - 2 a_z a_x b_z b_x + a_x^2 b_y^2 + a_y^2 b_x^2 - 2 a_x a_y b_x b_y$

$(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 + |\mathbf{a} \times \mathbf{b}|^2 = a_x^2 b_x^2 + a_y^2 b_y^2 + a_z^2 b_z^2 + a_y^2 b_z^2 + a_z^2 b_y^2 + a_z^2 b_x^2 + a_x^2 b_z^2 + a_x^2 b_y^2 + a_y^2 b_x^2$

$= a_x^2 (b_x^2 + b_y^2 + b_z^2) + a_y^2 (b_x^2 + b_y^2 + b_z^2) + a_z^2 (b_x^2 + b_y^2 + b_z^2)$

$= (a_x^2 + a_y^2 + a_z^2) (b_x^2 + b_y^2 + b_z^2) = |\mathbf{a}|^2 |\mathbf{b}|^2$

3. 最終的な答え

(1) $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{b}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) - \mathbf{c}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$

(2) $(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 + |\mathbf{a} \times \mathbf{b}|^2 = |\mathbf{a}|^2 |\mathbf{b}|^2$