(1) $n$ 個の実数 $a_1, a_2, \dots, a_n$ に対して、不等式 $(\sum_{k=1}^n a_k)^2 \le n \sum_{k=1}^n a_k^2$ が成立することを示し、等号が成立するための $a_1, a_2, \dots, a_n$ についての必要十分条件を求める。 (2) 偏りをもつサイコロを2回投げるとき、同じ目が続けて出る確率は $\frac{1}{6}$ よりも大きいことを示す。ただし、サイコロが偏りをもつとは、1から6の目が同様に確からしく出ないことをいう。

1. 問題の内容

(1) $n$ 個の実数 $a_1, a_2, \dots, a_n$ に対して、不等式 $(\sum_{k=1}^n a_k)^2 \le n \sum_{k=1}^n a_k^2$ が成立することを示し、等号が成立するための $a_1, a_2, \dots, a_n$ についての必要十分条件を求める。

(2) 偏りをもつサイコロを2回投げるとき、同じ目が続けて出る確率は $\frac{1}{6}$ よりも大きいことを示す。ただし、サイコロが偏りをもつとは、1から6の目が同様に確からしく出ないことをいう。

2. 解き方の手順

(1)

コーシー・シュワルツの不等式を用いる。

$x_k = 1$, $y_k = a_k$ とすると、

$(\sum_{k=1}^n x_k y_k)^2 \le (\sum_{k=1}^n x_k^2)(\sum_{k=1}^n y_k^2)$ が成り立つ。

このとき、

$(\sum_{k=1}^n 1 \cdot a_k)^2 \le (\sum_{k=1}^n 1^2)(\sum_{k=1}^n a_k^2)$

$(\sum_{k=1}^n a_k)^2 \le n \sum_{k=1}^n a_k^2$

したがって、不等式は成立する。

等号が成立するための必要十分条件は、$x_k$ と $y_k$ が比例すること、つまり、ある実数 $c$ が存在して $a_k = c \cdot 1 = c$ がすべての $k$ について成り立つことである。

したがって、$a_1 = a_2 = \dots = a_n$ が必要十分条件である。

(2)

サイコロの各目の出る確率を $p_1, p_2, \dots, p_6$ とする。

$\sum_{i=1}^6 p_i = 1$ であり、$p_i > 0$ である。

同じ目が続けて出る確率は、

$P = p_1^2 + p_2^2 + \dots + p_6^2$

問題文より、サイコロが偏りを持つため、$p_i$ はすべて等しくはない。

コーシー・シュワルツの不等式において、$n=6$, $x_i=1$, $y_i=p_i$ とすると、

$(\sum_{i=1}^6 x_i y_i)^2 \le (\sum_{i=1}^6 x_i^2)(\sum_{i=1}^6 y_i^2)$

$(\sum_{i=1}^6 p_i)^2 \le (\sum_{i=1}^6 1^2)(\sum_{i=1}^6 p_i^2)$

$1^2 \le 6 (\sum_{i=1}^6 p_i^2)$

$\sum_{i=1}^6 p_i^2 \ge \frac{1}{6}$

ただし、等号成立は $p_1 = p_2 = \dots = p_6 = \frac{1}{6}$ のとき。

問題文より偏りがあるため、等号は成立しない。

したがって、$P = p_1^2 + p_2^2 + \dots + p_6^2 > \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

(1)

不等式 $(\sum_{k=1}^n a_k)^2 \le n \sum_{k=1}^n a_k^2$ は成立する。

等号成立の必要十分条件は、$a_1 = a_2 = \dots = a_n$ である。

(2)

偏りをもつサイコロを2回投げるとき、同じ目が続けて出る確率は $\frac{1}{6}$ よりも大きい。