質量 $6.0 \times 10^{-2} \text{ kg}$ のテニスボールが東向きに $20 \text{ m/s}$ で飛んできて、ラケットで打ち返された。打ち返されたボールは西向きに $15 \text{ m/s}$ で飛んでいった。このとき、ボールが受けた力積を求めよ。また、ラケットとボールの接触時間が $5.0 \times 10^{-3} \text{ s}$ であるとき、この間にボールが受けた平均の力を求めよ。

1. 問題の内容

質量 $6.0 \times 10^{-2} \text{ kg}$ のテニスボールが東向きに $20 \text{ m/s}$ で飛んできて、ラケットで打ち返された。打ち返されたボールは西向きに $15 \text{ m/s}$ で飛んでいった。このとき、ボールが受けた力積を求めよ。また、ラケットとボールの接触時間が $5.0 \times 10^{-3} \text{ s}$ であるとき、この間にボールが受けた平均の力を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 力積の計算

力積は、運動量の変化に等しい。東向きを正とすると、

初期速度 $v_1 = 20 \text{ m/s}$

最終速度 $v_2 = -15 \text{ m/s}$ (西向きなので負)

質量 $m = 6.0 \times 10^{-2} \text{ kg}$

運動量の変化 $\Delta p = m v_2 - m v_1 = m (v_2 - v_1)$

よって、力積 $I = \Delta p = (6.0 \times 10^{-2} \text{ kg}) (-15 \text{ m/s} - 20 \text{ m/s}) = (6.0 \times 10^{-2} \text{ kg}) (-35 \text{ m/s}) = -2.1 \text{ kg m/s}$

力積の大きさは $2.1 \text{ kg m/s}$ であり、向きは西向きである。

(2) 平均の力の計算

平均の力 $F$ は、力積を接触時間 $\Delta t$ で割ったものに等しい。

$\Delta t = 5.0 \times 10^{-3} \text{ s}$

$F = \frac{I}{\Delta t} = \frac{-2.1 \text{ kg m/s}}{5.0 \times 10^{-3} \text{ s}} = -420 \text{ N}$

力の大きさは $420 \text{ N}$ であり、向きは西向きである。

3. 最終的な答え

(1) 力積: 西向きに $2.1 \text{ kg m/s}$

(2) 平均の力: 西向きに $420 \text{ N}$