A地点とB地点は18km離れており、6人が2組に分かれて移動します。第1組はタクシーで15km先のC地点まで行き、そこから徒歩でB地点へ。タクシーはC地点からA地点へ戻り、第2組を途中で拾ってB地点まで送ります。タクシーの速さは36km/時、歩く速さは4km/時です。 (1) 第1組がA地点を出発してから$x$分後のA地点からの距離を$y$ kmとしたとき、$x$と$y$の関係をグラフで表してください。 (2) 第2組がタクシーに乗ったのは、A地点を出発してから何分後ですか？

1. 問題の内容

A地点とB地点は18km離れており、6人が2組に分かれて移動します。第1組はタクシーで15km先のC地点まで行き、そこから徒歩でB地点へ。タクシーはC地点からA地点へ戻り、第2組を途中で拾ってB地点まで送ります。タクシーの速さは36km/時、歩く速さは4km/時です。

(1) 第1組がA地点を出発してから$x$分後のA地点からの距離を$y$ kmとしたとき、$x$と$y$の関係をグラフで表してください。

(2) 第2組がタクシーに乗ったのは、A地点を出発してから何分後ですか？

2. 解き方の手順

(1) 第1組の動きを考えます。

* A地点からC地点まで（タクシー）：距離15km、速さ36km/時。

時間 = 距離 / 速さ = $15 \text{ km} / 36 \text{ km/時} = 5/12$ 時間 = 25分。

よって、0分から25分までは、$y = 36 \text{ km/時} \times (x/60) \text{ 時} = (3/5)x$。

* C地点からB地点まで（徒歩）：距離 18km - 15km = 3km、速さ4km/時。

時間 = 距離 / 速さ = $3 \text{ km} / 4 \text{ km/時} = 3/4$ 時間 = 45分。

よって、25分から25 + 45 = 70分までは、$y = 15 + 4 \text{ km/時} \times ((x-25)/60) \text{ 時} = 15 + (1/15)(x-25)$。

第1組がB地点に到着するまでの$x$と$y$の関係は、

$0 \leq x \leq 25$のとき、$y = \frac{3}{5}x$

$25 \leq x \leq 70$のとき、$y = 15 + \frac{1}{15}(x-25)$

このグラフを描きます。

(2) 第2組がタクシーに乗る時間を求めます。

第2組は徒歩でA地点を出発し、タクシーと出会った地点でタクシーに乗ります。タクシーはC地点で第1組を降ろし、A地点へ戻ります。第2組がタクシーに乗る時間を$t$分とします。

* 第2組が$t$分で進む距離：$4 \text{ km/時} \times (t/60) \text{ 時} = t/15$ km。

* タクシーがC地点からA地点へ戻り、第2組と出会うまでの時間：

タクシーがC地点を出発するのは25分後なので、$t - 25$ 分。

タクシーが進む距離：$36 \text{ km/時} \times ((t-25)/60) \text{ 時} = (3/5)(t-25)$ km。

* タクシーが進む距離と、第2組が進む距離の和は15kmになるので、

$\frac{t}{15} + \frac{3}{5}(t-25) = 15$

$t + 9(t-25) = 225$

$10t - 225 = 225$

$10t = 450$

$t = 45$

よって、第2組がタクシーに乗るのはA地点を出発してから45分後です。

3. 最終的な答え

(1) グラフは上記の説明より。

$0 \leq x \leq 25$のとき、$y = \frac{3}{5}x$

$25 \leq x \leq 70$のとき、$y = 15 + \frac{1}{15}(x-25)$

(2) 45分後