質量 $m$ の質点の位置ベクトルを $\vec{r}$、速度ベクトルを $\vec{v}$ とする。質点には力 $\vec{F}$ が働いている。 (1) この質点の運動方程式を $m$, $\vec{v}$, $\vec{F}$ を用いて表す。 (2) 角運動量ベクトル $\vec{L} = m\vec{r} \times \vec{v}$ を定義すると、$\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{N}$ が成立することを示す。ここで、$\vec{N} = \vec{r} \times \vec{F}$ は力のモーメントである。 (3) 力ベクトルが $\vec{F} = f(r)\vec{r}$ と表されるとき、$\vec{N} = 0$ であることを示す。ここで、$r = |\vec{r}|$ で、$f(r)$ は $r$ の任意の関数である。 (4) (3)のとき、質点の位置ベクトル $\vec{r}$ と速度ベクトル $\vec{v}$ は、ベクトル $\vec{L}$ を法線にもつ平面内のみに存在することを示す。 (5) (4) のとき、$\vec{L}$ を $z$ 軸に平行にすると、質点は $xy$ 平面上で運動する。質点の位置が $x = r\cos\phi$, $y = r\sin\phi$ で与えられるとすると、$L = |\vec{L}| = mr^2 \dot{\phi}$ で与えられることを示す。

1. 問題の内容

質量 $m$ の質点の位置ベクトルを $\vec{r}$、速度ベクトルを $\vec{v}$ とする。質点には力 $\vec{F}$ が働いている。

(1) この質点の運動方程式を $m$, $\vec{v}$, $\vec{F}$ を用いて表す。

(2) 角運動量ベクトル $\vec{L} = m\vec{r} \times \vec{v}$ を定義すると、$\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{N}$ が成立することを示す。ここで、$\vec{N} = \vec{r} \times \vec{F}$ は力のモーメントである。

(3) 力ベクトルが $\vec{F} = f(r)\vec{r}$ と表されるとき、$\vec{N} = 0$ であることを示す。ここで、$r = |\vec{r}|$ で、$f(r)$ は $r$ の任意の関数である。

(4) (3)のとき、質点の位置ベクトル $\vec{r}$ と速度ベクトル $\vec{v}$ は、ベクトル $\vec{L}$ を法線にもつ平面内のみに存在することを示す。

(5) (4) のとき、$\vec{L}$ を $z$ 軸に平行にすると、質点は $xy$ 平面上で運動する。質点の位置が $x = r\cos\phi$, $y = r\sin\phi$ で与えられるとすると、$L = |\vec{L}| = mr^2 \dot{\phi}$ で与えられることを示す。

2. 解き方の手順

(1) 運動方程式は、ニュートンの運動の第二法則より、力 $\vec{F}$ は質量 $m$ と加速度 $\vec{a}$ の積に等しい。$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}$ であるから、

$m \frac{d\vec{v}}{dt} = \vec{F}$

(2) 角運動量 $\vec{L} = m\vec{r} \times \vec{v}$ の時間微分を計算する。積の微分法則を用いると、

$\frac{d\vec{L}}{dt} = m \frac{d}{dt}(\vec{r} \times \vec{v}) = m(\frac{d\vec{r}}{dt} \times \vec{v} + \vec{r} \times \frac{d\vec{v}}{dt})$

$\frac{d\vec{r}}{dt} = \vec{v}$ であるから、$\frac{d\vec{r}}{dt} \times \vec{v} = \vec{v} \times \vec{v} = 0$。また、(1) の運動方程式より、$\frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{\vec{F}}{m}$。したがって、

$\frac{d\vec{L}}{dt} = m(0 + \vec{r} \times \frac{\vec{F}}{m}) = \vec{r} \times \vec{F} = \vec{N}$

(3) 力のモーメント $\vec{N} = \vec{r} \times \vec{F}$ に $\vec{F} = f(r)\vec{r}$ を代入すると、

$\vec{N} = \vec{r} \times (f(r)\vec{r}) = f(r)(\vec{r} \times \vec{r}) = 0$

なぜなら、$\vec{r} \times \vec{r} = 0$ である。

(4) (3) の結果より、$\vec{N} = \frac{d\vec{L}}{dt} = 0$ であるから、角運動量 $\vec{L}$ は時間的に一定（保存する）。位置ベクトル $\vec{r}$ と速度ベクトル $\vec{v}$ は常に角運動量ベクトル $\vec{L}$ に垂直である。つまり、$\vec{L} \cdot \vec{r} = 0$ および $\vec{L} \cdot \vec{v} = 0$。したがって、$\vec{r}$ と $\vec{v}$ は、ベクトル $\vec{L}$ を法線にもつ平面内に存在する。

(5) $\vec{L}$ が $z$ 軸に平行であるとき、(4) の結果より、質点は $xy$ 平面上で運動する。質点の位置が $x = r\cos\phi$, $y = r\sin\phi$ で与えられるとき、位置ベクトルは $\vec{r} = (r\cos\phi, r\sin\phi, 0)$、速度ベクトルは $\vec{v} = (\dot{x}, \dot{y}, 0) = (\dot{r}\cos\phi - r\dot{\phi}\sin\phi, \dot{r}\sin\phi + r\dot{\phi}\cos\phi, 0)$ と表せる。角運動量ベクトル $\vec{L}$ は

$\vec{L} = m\vec{r} \times \vec{v} = m (r\cos\phi, r\sin\phi, 0) \times (\dot{r}\cos\phi - r\dot{\phi}\sin\phi, \dot{r}\sin\phi + r\dot{\phi}\cos\phi, 0)$

$= m (0, 0, r\cos\phi(\dot{r}\sin\phi + r\dot{\phi}\cos\phi) - r\sin\phi(\dot{r}\cos\phi - r\dot{\phi}\sin\phi))$

$= m(0, 0, r\dot{r}\cos\phi\sin\phi + r^2\dot{\phi}\cos^2\phi - r\dot{r}\sin\phi\cos\phi + r^2\dot{\phi}\sin^2\phi)$

$= m(0, 0, r^2\dot{\phi}(\cos^2\phi + \sin^2\phi)) = m(0, 0, r^2\dot{\phi})$

したがって、$\vec{L} = (0, 0, mr^2\dot{\phi})$ であり、その大きさは $L = |\vec{L}| = mr^2\dot{\phi}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $m \frac{d\vec{v}}{dt} = \vec{F}$

(2) $\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{N}$

(3) $\vec{N} = 0$

(4) 位置ベクトル $\vec{r}$ と速度ベクトル $\vec{v}$ は、ベクトル $\vec{L}$ を法線にもつ平面内のみに存在する。

(5) $L = |\vec{L}| = mr^2\dot{\phi}$